高等数学上第一章函数，极限，连续 复习

高等数学上第一章函数，极限，连续复习

题目来源：猴博士

极限

求极限 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞​型

解题技巧：

1. 找到无穷大项
2. 找出各无穷大项的指数
3. 分子和分母都只保留指数最大的无穷大项，去掉其他项

∞ \infty ∞- ∞ \infty ∞型

常用的等价无穷小代换+例题

当x → \rightarrow → 0时

① sin x 、tan x 、arcsin x 、arctan x 、e^x-1 、ln(1+x) 均可以变成x

② 1-cos x 可变为$\frac{1}{2} $x²

③(1+x)^a-1可变为a*x

④a^x-1 可变成x*ln a (其中a>0,且a$\neq$1)

⑤ sin x - x可变成-x³/6

​ arcsin x - x可变成x³/6

​ tan x - x可变成x³/3

​ arctan x - x可变成-x³/3

​ ln(1+x) - x可变成-x²/2

注：等价无穷小小，只适用于相乘，相加减不一定适用

洛必达法则

若将未知数代入后，式子为 0 0 \frac{0}{0} 00​型或 ∞ ∞ \frac{\infty }{\infty } ∞∞​型 ，则 lim ⁡ f ( x ) g ( x ) \lim \frac{f(x)}{g(x)} limg(x)f(x)​= lim ⁡ f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim\frac{f'(x)}{g'(x)} limg′(x)f′(x)​

∞ \infty ∞*0型

把相对简单项变为 1 1 相 对 简 单 项 \frac{\frac{1}{1}}{相对简单项} 相对简单项11​​

求底数指数都有x的极限

函数的左右极限及需要求左右极限的情形

需要求左右极限的情形：

1. 分段函数（如 带绝对值的函数），在分段点处的极限
2. 数^g(x)在g(x)的分母为0处的极限
3. arctan g(x)在g(x)的分母为0处的极限

做题方法：

1. 当 lim_左=lim_右=不为 ∞ \infty ∞的数时，函数极限存在，且极限=lim_左=lim_右；

2. 当 lim_左=lim_右为+ ∞ \infty ∞或- ∞ \infty ∞时，函数极限 ∞ \infty ∞/不存在/没有极限；

3. 当 lim_左 ≠ \neq ​=lim_右且存在不为 ∞ \infty ∞的值时，函数极限不存在且不为 ∞ \infty ∞

极限的拆分

当 lim ⁡ x → 0 a ( x ) ≠ ∞ \lim_{x \to0} a(x)\neq\infty limx→0​a(x)​=∞且 lim ⁡ x → 0 b ( x ) ≠ ∞ \lim_{x \to0} b(x)\neq\infty limx→0​b(x)​=∞时， lim ⁡ x → 0 [ a ( x ) + b ( x ) ] = lim ⁡ x → 0 a ( x ) + lim ⁡ x → 0 b ( x ) \lim_{x \to0} [a(x)+b(x)]= \lim_{x\to 0}a(x)+\lim_{x\to 0}b(x) limx→0​[a(x)+b(x)]=limx→0​a(x)+limx→0​b(x)

相乘也可以拆

无求小的比较

解题方法：

求无穷小与 f ( x ) f(x) f(x) 组合后的极限

解题方法：

利用极限的保号性判定极值点

求函数渐近线

利用夹逼定理求数列极限

证明单调有界数列的极限存在（题型一）

证明单调有界数列的极限存在（题型二）

证明单调有界数列的极限存在（题型三）

证明极限存在练习题

连续

证明 f ( x ) f(x) f(x)在某点连续

已知 f ( x ) f(x) f(x)在某点连续，求未知数

零点定理

介值定理

间断点

第一章课后习题