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第五章：平衡二叉树

2023-11-14

系列文章目录

前言

AVL是一种二叉搜索树，通过平衡因子来实现平衡。

1、平衡二叉树的介绍

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

平衡二叉树：在一棵搜索二叉树中每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过1。左右子树的高度差被称为平衡因子**（平衡因子=右子树高度-左子树高度）。**若一颗平衡二叉树的节点个数为n，那么其高度为logN。

1.2 AVL树的性质

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  1. 它的左右子树都是AVL树

  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

在这里插入图片描述

2、平衡二叉树的插入

2.1 平衡二叉树的插入步骤

平衡二叉树的插入第一步和二叉搜索树一样，根据二叉搜索树的特性，找到新插入节点位于整棵树的位置。

随后使用逻辑语句判断新节点是插入在父节点的左还是右，并维护其与父节点的指针关系。

新增在右，平衡因子++；新增在左，平衡因子–。那新插入了一个节点，原先的平衡二叉树的结构可能会遭到破坏（会影响插入节点的祖先的平衡因子），所以需要观察平衡因子的三种情况，进行分类讨论：如图

在这里插入图片描述

情况三如何旋转？无非是四种情况：

在这里插入图片描述

2.2 平衡二叉树的旋转

当出现上图情况三时，就需要对平衡二叉树的节点进行旋转，旋转的目的是要让这颗树继续维持平衡二叉树的形态，同时调节子树的高度，让其和插入前的高度保持一致，旋转后不要忘记更新那些被旋转的节点的平衡因子。

【旋转的原则】：保持它继续是搜索树。

【选择的目的】：1. 左右子树均衡；2. 同时调节子树的高度，让其和插入前的高度保持一致。

2.2.1 左单旋

在这里插入图片描述

5可能是根，也可能是某颗子树的根，分类讨论：

在这里插入图片描述

void RotateL(Node* parent)
{
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;

    parent->_right = subRL;
    if(subRL)
        subRL->_parent = parent;

    Node* ppnode = parent->_parent;

    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    if (ppnode == nullptr)
    {
        _root = subR;
        _root->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (ppnode->_left == parent)
        {
            ppnode->_left = subR;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = subR;
        }

        subR->_parent = ppnode;
    }

    parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.2.2 右单旋

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

void RotateR(Node* parent)
{
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;

    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
    {
        subLR->_parent = parent;
    }
    Node* ppnode = parent->_parent;

    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;



    if (parent == _root)
    {
        _root = subL;
        _root->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (ppnode->_left == parent)
        {
            ppnode->_left = subL;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = subL;

        }
        subL->_parent = ppnode;
    }

    parent->_bf = subL->_bf = 0;

}

2.2.3 左右双旋

在这里插入图片描述

void RotateLR(Node* parent)
{
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;

    int bf = subLR->_bf;

    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);

    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = -1;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 1;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 0)
    {
        parent->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false);
    }

}

2.2.4 右左双旋

在这里插入图片描述

void RotateRL(Node* parent)
{
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;

    int bf = subRL->_bf;

    RotateR(parent->_right);
    RotateL(parent);

    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = -1;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 1;
    }
    else if (bf == 0)
    {
        parent->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false);
    }
}

3、平衡二叉树的检验

//求树的高度
int _Height(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
        return 0;
    int leftH = _Height(root->_left);
    int rightH = _Height(root->_right);

    return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}

//判断是否是平衡树
bool _IsBalance(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
    {
        return true;
    }

    int leftH = _Height(root->_left);
    int rightH = _Height(root->_right);

    //判断平衡因子
    if (rightH - leftH != root->_bf)
    {
        cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
        return false;
    }

    return abs(leftH - rightH) < 2
        && _IsBalance(root->_left)
        && _IsBalance(root->_right);

}

4、平衡二叉树的删除

按照二叉搜索树的方式对平衡二叉树节点进行删除。更新平衡因子时，平衡因子为1或-1便可以停止向上更新。当平衡因子绝对值大于1时，同样需要进行旋转解决。

5、整体代码

平衡二叉树强就强在通过大量的旋转控制整颗树任意一个节点的左右子树高度差不大于1，使树的结构近似完全二叉树，搜索效率为logN。

但偏偏是频繁的旋转，导致其插入删除的效率并不及红黑树，这也是红黑树成为树形容器的原因。

但是一颗树仅用来查找而不进行删除的话，用平衡二叉树还是很棒的。

#pragma once
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <time.h>

using namespace std;

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);

		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		cur->_parent = parent;//链接父节点

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续更新
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转的原则：保持它继续是搜索树
				//选择的目的：左右均衡，降低整棵树的高度
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

		}

		return true;
	}

	//中序遍历
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	//判断是否是平衡二叉树
	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
	

private:
	//求树的高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
	}

	//判断是否是平衡树
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		//判断平衡因子
		if (rightH - leftH != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(leftH - rightH) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);

	}

	//左旋转
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if(subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

	//右旋转
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		Node* ppnode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
		
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = subL->_bf = 0;

	}

	//左右旋转
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
			 
	}

	//右左旋转
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	//中序遍历
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}


private:
	Node* _root = nullptr;
};

void Test_AVLTree1()
{//测试代码1
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	AVLTree<int, int> t1;
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert(make_pair(e, e));
		cout << e << ":" << t1.IsBalance() << endl;
	}

	t1.InOrder();
	cout << t1.IsBalance() << endl;
}

void Test_AVLTree2()
{//测试代码2
	srand(time(0));
	const size_t N = 5000000;
	AVLTree<int, int> t;
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		size_t x = rand() + i;
		t.Insert(make_pair(x, x));
		//cout << t.IsBalance() << endl;
	}

	//t.Inorder();

	cout << t.IsBalance() << endl;
	//cout << t.Height() << endl;
}
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C进阶语法

c

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