线性相关与线性无关的定义与性质

定义1 线性相关：

K n K n K_nK_n Kn​Kn​中向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s ( s ≥ 1 ) α_1,α_2,...,α_s(s\ge1) α1​,α2​,...,αs​(s≥1)称为是线性相关的,如果 K K K中有不全为0的 k 1 , k 2 , . . . , k s k_1,k_2,...,k_s k1​,k2​,...,ks​使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0 k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​=0.

定义2 线性无关：

K n K_n Kn​中如果有向量组 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ≥ 1 ) α_1,α_2,...α_s(s\ge1) α1​,α2​,...αs​(s≥1)是线性无关的,那么从式子 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0 k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​=0中可以得到 k 1 = k 2 = . . . = k s = 0 k_1=k_2=...=k_s=0 k1​=k2​=...=ks​=0.

线性相关与线性无关是线性代数中最基本的概念之一.

从以下几个角度来考察线性相关的向量组与线性无关的向量组的本质区别：

1. 从线性组合来看:

如果向量组 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ≥ 1 ) α_1,α_2,...α_s(s\ge1) α1​,α2​,...αs​(s≥1)线性相关
⇔ k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 \Leftrightarrow k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0 ⇔k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​=0,其中 k 1 , k 2 , . . . , k s k_1,k_2,...,k_s k1​,k2​,...,ks​不全为0.
如果向量组 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ≥ 1 ) α_1,α_2,...α_s(s\ge1) α1​,α2​,...αs​(s≥1)线性无关
⇔ k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 \Leftrightarrow k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0 ⇔k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​=0,其中 k 1 = k 2 = , . . . , = k s = 0 k_1=k_2=,...,=k_s=0 k1​=k2​=,...,=ks​=0.

2. 从线性表出来看:

如果向量组 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ≥ 2 ) α_1,α_2,...α_s(s\ge2) α1​,α2​,...αs​(s≥2)线性相关
⇔ \Leftrightarrow ⇔其中至少有一个向量可以由其他向量线性表出.
如果向量组 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ≥ 2 ) α_1,α_2,...α_s(s\ge2) α1​,α2​,...αs​(s≥2)线性无关
⇔ \Leftrightarrow ⇔其中每一个向量都不可以由其他向量线性表出.

3. 从齐次线性方程组来看:

如果列向量组 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ≥ 1 ) α_1,α_2,...α_s(s\ge1) α1​,α2​,...αs​(s≥1)线性相关
⇔ \Leftrightarrow ⇔齐次线性方程组 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0 k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​=0有非零解.
如果列向量组 α 1 , α 2 , . . . α s ( s ≥ 1 ) α_1,α_2,...α_s(s\ge1) α1​,α2​,...αs​(s≥1)线性无关
⇔ \Leftrightarrow ⇔齐次线性方程组 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0 k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​=0只有零解.

4. 从行列式来看:

若n个n维列(行)向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n α_1,α_2,...,α_n α1​,α2​,...,αn​线性相关
⇔ \Leftrightarrow ⇔以 α 1 , α 2 , . . . , α n α_1,α_2,...,α_n α1​,α2​,...,αn​为列(行)向量组的矩阵的行列式等于零.
若n个n维列(行)向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n α_1,α_2,...,α_n α1​,α2​,...,αn​线性无关
⇔ \Leftrightarrow ⇔以 α 1 , α 2 , . . . , α n α_1,α_2,...,α_n α1​,α2​,...,αn​为列(行)向量组的矩阵的行列式不等于零.

5. 从向量组线性表出的一个向量的方式来看:

若向量β可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . α s α_1,α_2,...α_s α1​,α2​,...αs​线性表出,且表出方式唯一,
⇔ \Leftrightarrow ⇔则向量组 α 1 , α 2 , . . . α s α_1,α_2,...α_s α1​,α2​,...αs​线性无关.
若向量ββ可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . α s α_1,α_2,...α_s α1​,α2​,...αs​线性表出,且表出方式有无穷多种,
⇔ \Leftrightarrow ⇔则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n α_1,α_2,...,α_n α1​,α2​,...,αn​线性相关.

6. 从向量组与它部分组的关系来看:

若向量组的一个部分组线性相关
⇔ \Leftrightarrow ⇔则整个向量组线性相关.
若向量组线性无关
⇔ \Leftrightarrow ⇔则它的任何一个部分向量组线性无关.
（以上二者为逆否命题）

7. 从向量组与它的延伸组或伸缩组的关系来看:

如果向量组线性无关,那么把每个分量添上 m m m个分量(所添加的分量的位置对于每个向量都是一样的)得到的延伸组也线性无关；
如果向量组线性相关,那么把每个分量去掉 m m m个分量(所添加的分量的位置对于每个向量都是一样的)得到的延伸组也线性相关.