旋转矩阵推导

个人学习，水平不高，请指正

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前言

最近在学平衡小车，学习卡尔曼滤波 ，加速度计解算姿态角时用到了旋转矩阵，所以有了这个文章

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一、前置知识

线性代数矩阵相关知识：

        矩阵运算、空间变换等

一些三角函数公式

二角和差公式：

        cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

        cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

        sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

二、二维平面旋转

OP旋转了β°变成OP‘  ，如何求出改变量x’与y‘呢？

根据三角形三个边关系可推出

x=r*cos（角度）

y=r*sin（角度）

求x’与y‘的话，在这里的r为模长 |op|，而角度为α+β

由二角和差公式可推得

由于

|OP|*cosα=x

|OP|*sinα=y

刚好等于是旋转前的量，用xy直接替换式子中的元素，最终得到

最后写成矩阵形式

xy前面的矩阵就是旋转矩阵

这代表x、y经过变换变成了x’、y‘，转了β角度

三、三维推广

1.右手坐标系

以下推导基于右手坐标系，拿出你的右手比个图中手型 坐标轴由图中所示

2.绕x轴旋转

由于x坐标轴不动，所以x’=x

我们从x轴看（x指向自己）然后把z轴和y轴转成一个向上是正方向，一个向右正方向，

把它看成二维坐标系，剩下计算与二维一样

由二角和差公式可推得

写成矩阵的形式

3.z轴与y轴

只需要注意轴的位置，推导与绕x轴一样

四、完整草稿

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五总结

        参考3维旋转矩阵推导与助记_二维坐标系旋转 三阶矩阵_码农爱学习的博客-CSDN博客

        字丑，容易把阿尔法和贝塔写成ab，如有错误欢迎指正