2016年蓝桥杯预赛第十题最大比例

题目：最大比例

X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：
16,24,36,54
其等比值为：3/2

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式：
第一行为数字N，表示接下的一行包含N个正整数
第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额

要求输出：
一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数

测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。

例如，输入：
3
1250 200 32

程序应该输出：
25/4

再例如，输入：
4
3125 32 32 200

程序应该输出：
5/2


再例如，输入：
3
549755813888 524288 2

程序应该输出：
4/1

资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
 

解题思路：这一题，我先对n个数排序，然后相邻两个相除，得到n-1个数，这n-1个数都是公比的正整数次方，然后我把两个次方数在相除，都是大的除小的，打个比方，两个数位q^15和q^6,

q^15/q^6 = q^9,     q^9/q^6 = q^3 ,   q^6/q^3 = q^3     q^3/q^3 = 1，不然它等于1，所以保留q^3，说明两个是都是q^3的次方，

然后也是连续两个数按上面方法处理，每一次从头到尾处理过后，n-1个数变为n-2个数,n-2个数变为n-3个，....直到只剩一个数就是答案，这个数不一定是q，可能是q的m次方，如果是q的m次方，说明输入的数都是这个数的次方，那这个数就可以当作这个数列的公比，当然q也可以作为这个数列的公比，甚至q,q^2,....q^m次方都可以作为公比，按题意输出最大的，就是剩下来的数。

要严谨的数学证明的话，不会，只是觉得两个不同次方，一直大的除小的，就是次方相减，最后可以得到一个数，就好像最大公约数一样。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
struct Node{
	LL x, y;
};
LL arr[105];
vector<Node> vec;
LL gcd(LL a, LL b){
	if(a%b == 0)return b;
	return gcd(b, a%b);
}

void getAns(){
	vector<Node> tmp = vec;
	vec.clear();
	Node head = tmp.at(0);
	LL xa = head.x, ya = head.y;
	for(int i=1; i<tmp.size(); ++i){
		LL xb = tmp.at(i).x, yb = tmp.at(i).y;
		while(xa!=xb || ya!=yb){
			if(xa*yb<ya*xb){
				swap(xa, xb);
				swap(ya, yb);
			}
//			printf("%lld %lld %lld %lld\n", xa, ya, xb, yb);
			LL xayb = xa*yb, xbya = xb*ya;
			LL g = gcd(xayb, xbya);
			xa = xayb/g;
			ya = xbya/g;
		}
		Node node;
		node.x = xa; node.y = ya;
		vec.push_back(node);
	}
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<n; ++i){
		scanf("%lld", &arr[i]);
	}
	sort(arr, arr+n);
	for(int i=0; i<n-1; ++i){
		if(arr[i] == arr[i+1])continue;
		LL g = gcd(arr[i+1], arr[i]);
		Node tmp;
		tmp.x = arr[i+1]/g; tmp.y = arr[i]/g;
		vec.push_back(tmp);
	}
	if(vec.empty()){		//vec为空，这说明输入的数都一样 
		printf("1/1");
		return 0;
	} 
	while(vec.size() > 1){
//		cout << vec.size() << endl;
		getAns();
	}
	printf("%lld/%lld", vec.at(0).x, vec.at(0).y);
	return 0;
 }