拓扑排序算法原理及Java代码实现

一、拓扑排序的概念

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。

拓扑(ta pu)排序：BFS + 贪心，专门用于解决任务调度、课程顺序问题；
核心元素：入度，即有向图中某个顶点作为终点的次数之和；

二、算法原理

• 将问题转化为有向图描述，记录每个节点的后继节点、入度值；
• 找出所有入度为0的节点（入度为0说明没有前驱结点），将他们入队（队列中始终存放入度为0的节点）；
• 循环操作：从队列中依次将入度0的节点出队放入结果集数组（存放最终排序结果），并将该节点的后继节点入度值-1。
• 检查是否含有环路：检查是否有节点没有输出（即结果集是否包含所有的节点），如果有节点没有输出，说明存在环路。

三、需要使用的数据结构

• 哈希表（邻接表）数组HashSet[]：存放每个节点的后继节点;adj[i] = new HashSet();//表示节点i的后继节点
• 入度数组inDegree[]：每个节点对应的入度值（入度值就是有向图中某个节点作为终点的次数和，即前驱节点的数目）
• 队列queue：存放入度值为0的节点
• 结果集数组res[]：拓扑排序的结果，即线性序列

四、Java代码实现案例

1.课程学习顺序
案例描述：现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示在选修课程 ai 前 必须 先选修 bi 。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示：[0,1] 。
返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。

class Solution {
    public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        //拓扑排序（BFS+贪心）:专门用于解决任务调度问题和课程问题。
        //需要使用的数据结构：
        //哈希表（邻接表）数组HashSet[]：存放每个节点的后继节点;adj[i] = new HashSet();//表示课程i的后继节点课程
        //入度数组inDegree[]：每个节点对应的入度值（入度值就是有向图中某个节点作为终点的次数和，即前驱节点的数目）
        //队列queue：存放入度值为0的节点
        //结果集数组res[]：拓扑排序的结果，即课程学习顺序
        if(numCourses <= 0){
            return new int[0];
        }
        //1.将问题转化为有向图描述，记录每个节点的后继节点、入度值
        //1.1记录每个节点的后继节点（每个课程的后继课程）
        HashSet<Integer>[] adj = new HashSet[numCourses];//1.1.1定义哈希数组（邻接表）:存放每个节点的后继节点;adj[i] = new HashSet();//表示课程i的后继节点课程
        for(int i = 0 ; i < numCourses ; i++){
            adj[i] = new HashSet<>();//1.1.2初始化哈希数组：初始化课程i的后继课程
        }
        //1.2记录每个节点的入度值（每个课程的前驱课程数目）
        int[] inDegree = new int[numCourses];//1.2.1定义并初始化入度数组inDegree[]：每个节点对应的入度值
        for(int[] p : prerequisites){
            //p[1] → p[0]
            adj[p[1]].add(p[0]);//1.1.3记录每个节点的后继节点
            inDegree[p[0]]++; //1.2.2记录每个节点的入度值
        }

        //2.找到入度为0的节点，将他们入队
        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();//定义队列queue：始终存放入度值为0的节点
        for(int i = 0 ; i < numCourses ; i++){
            if(inDegree[i] == 0) queue.offer(i);
        }

        //3.拓扑排序：每一次都找出入度值为0的节点，将其取出来放入结果集中，并将其后继节点入度值-1
        int[] res = new int[numCourses];//定义结果集数组res[]：拓扑排序的结果，即课程学习顺序
        int count = 0;//当前课程的排序顺序（即排序后当前课程的位置索引）
        while(!queue.isEmpty()){
            //3.1将队列中节点（即入度值为0的节点）依次出队，并放入结果集数组res
            Integer head = queue.poll();
            res[count] = head;//将入度0课程head放入结果数组索引count的位置上
            count++;//更新位置索引（排序顺序）
            //3.2后继节点的入度值-1
            Set<Integer> successors = adj[head];//得到入度0节点的后继节点
            for(int nextCourse : successors){
                inDegree[nextCourse]--;//入度值-1
                //立马检查入度值是否为0，如果是0就放入队列
                if(inDegree[nextCourse] == 0){
                    queue.offer(nextCourse);
                }
            }

        }

        //4.检测有向图是否有环：检查是否有节点没有输出（即结果集是否包含所有的节点），如果有节点没有输出，说明存在环路，则不能完成所有课程的学习。
        if(count == numCourses){
            return res;//如果结果集包含所有节点，那么排序成功结束，没有环路，可以完成所有课程的学习，返回结果集
        }
        return new int[0];//否则说明存在环路，无法完成所有课程的学习


    }
}

2.课程表
案例描述：
你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。
例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。
请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        //1.定义入度值和依赖关系
        Map<Integer , Integer> inDegree = new HashMap<>();//1.1用哈希表存放对应课号的入度值（key:课号，value:入度值）
        for(int i = 0 ; i < numCourses ; i++){
            inDegree.put(i , 0);//1.2初始化入度值
        }
        Map<Integer , List<Integer>> adj = new HashMap();//1.3邻接表：用哈希表存放依赖关系(key:课号，value:依赖这门课的后续课程)
        
        //2.更新入度值和化依赖关系
        for(int[] relate : prerequisites){
            //举例说明：(3,0), 想学3号课程要先完成0号课程, 更新3号课程的入度和0号课程的依赖(邻接表)
            int cur = relate[1];
            int next = relate[0];
            //2.1更新入度值
            inDegree.put(next , inDegree.get(next) + 1);
            //2.2更新当前课程的依赖关系
            if(!adj.containsKey(cur)){//2.2.1如果邻接表中不存在当前课程cur，就要新开辟一个哈希空间
                adj.put(cur , new ArrayList<>());
            }
            adj.get(cur).add(next);//2.2.2添加当前课程cur的依赖关系
        }

        //3.BFS:首先将入度为 0 的课程放入队列（队列中的课程就是没有先修，可以直接学的课程）;然后依次取出入度值为0的课程（学习入度值为0的课程），其后续依赖课程入度值需要-1；最后更新队列，再次循环。
        //3.1找到入度值为0 的课程，放入队列q中
        Queue<Integer> q = new LinkedList<>();//定义队列q用于存放入度值为0的课程
        //遍历入度值，找到入度值为0 的课程，放入队列中
        for(int key : inDegree.keySet()){
            if(inDegree.get(key) == 0){
                q.offer(key);
            }
        }
        //3.2从队列q取出一个节点，相当于学习这门课程,其后续依赖课程的入度值需要-1
        while(!q.isEmpty()){
            int cur = q.poll();//3.2.1取出一个节点，相当于学习这门课程
            if(!adj.containsKey(cur)){
                continue;
            }
            List<Integer> successorList = adj.get(cur);//3.2.2获取当前课程cur的邻接表
            for(int k : successorList){
                inDegree.put(k , inDegree.get(k) - 1);//3.2.3更新入度值：当前课程cur已学习，则后续课程入度值-1
                
                //3.3更新队列
                if(inDegree.get(k) == 0){
                    q.offer(k);//如果后续课程入度值为0，则加入队列q
                }
            }
        }

        //4.结束条件：如果存在入度值不为0的课程，则false;否则说明全部课程入度值都为0，都可以直接学习了，ture
        for (int key : inDegree.keySet()) {
            if (inDegree.get(key) != 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;



    }
}