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矩阵的广义逆及python实践

2023-11-16

机器学习的代码中经常有求矩阵的广义逆，本文先从概念上总结了矩阵的广义逆，然后用python的numpy库实践。

概念

矩阵的广义逆（Generalized inverse）也称为伪逆（pseudo inverse），假设一个矩阵 {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}及另一矩阵 {\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}}，若 {\displaystyle A^{\mathrm {g} }} 满足 {\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}，则 {\displaystyle A^{\mathrm {g} }} 即为A的广义逆矩阵。

提出矩阵的广义逆的原因

提出矩阵的广义逆的目的是对于可逆矩阵以外的矩阵（例如非方阵的矩阵）可以找到一矩阵有一些类似逆矩阵的特性。任意的矩阵都存在广义逆，若一矩阵存在逆矩阵，逆矩阵即为其唯一的广义逆阵。

考虑以下的线性方程组：

{\displaystyle Ax=y} ， 其中 A为 {\displaystyle n\times m}

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