如何求矩阵的逆矩阵 - 叮叮当当sunny - 博客园
求逆矩阵最有效的方法是初等变换法（虽然还有别的方法）。如果要求方阵 AA 的逆矩阵，标准的做法是：
- 将矩阵 AA 与单位矩阵 II 排成一个新的矩阵 (AI)(AI)
- 将此新矩阵 (AI)(AI) 做初等行变换，将它化成 (IB)(IB) 的形式
- B=A−1B=A−1
若 AA 是一个二阶方阵
A=(acbd)A=(abcd)
则它的逆矩阵可以直接使用公式
A−1=1ad−bc(d−c−ba)A−1=1ad−bc(d−b−ca)
来计算。我们来看几个例子。
例1：求二阶矩阵
A=(8564)A=(8654)
的逆矩阵。
解：因为矩阵是二阶矩阵，我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。
A−1=18⋅4−6⋅5(4−5−68)=12(4−5−68)=(2−52−34)A−1=18⋅4−6⋅5(4−6−58)=12(4−6−58)=(2−3−524)
例2：求矩阵
A=⎛⎝⎜1−3201−3−244⎞⎠⎟A=(10−2−3142−34)
的逆矩阵。
解：这是一个三阶的矩阵，最简便有效的方法是初等变换法。（你可以试试用伴随矩阵的方法来求，计算量比初等变换法相差多大）我们将矩阵与单位矩阵排在一起，然后做初等变换
(AI)=⎛⎝⎜⎜⎜1−3201−3−244⋮⋮⋮100010001⎞⎠⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜10001−3−2−28⋮⋮⋮13−2010001⎞⎠⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜100010−2−22⋮⋮⋮137013001⎞⎠⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜100010002⋮⋮⋮8107343111⎞⎠⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜100010001⋮⋮⋮8107234321112⎞⎠⎟⎟⎟⎟(AI)=(10−2⋮100−314⋮0102−34⋮001)∼(10−2⋮10001−2⋮3100−38⋮−201)∼(10−2⋮10001−2⋮310002⋮731)∼(100⋮831010⋮1041002⋮731)∼(100⋮831010⋮1041001⋮723212)
所以我们得到
A−1=⎛⎝⎜8107234321112⎞⎠⎟A−1=(8311041723212)
我们看到的这个矩阵是三阶的，利用初等变换计算逆矩阵已经比伴随矩阵法少了很多的计算量了。实际上，矩阵的阶数越高，节约下来的计算量越多。利用伴随矩阵计算逆矩阵，三阶矩阵的话，需要计算一个三阶行列式，九个二阶行列式。四阶的话，需要计算一个四阶行列式，十六个三阶行列式，手算的话，已经让人难以接受了。
我们来看一个四阶矩阵的逆矩阵。
例3：求矩阵
A=⎛⎝⎜⎜⎜12112310311−242−1−6⎞⎠⎟⎟⎟A=(12342312111−110−2−6)
的逆矩阵。
解：我们将下述矩阵做初等变换
(AI)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜12112310311−242−1−6⋮⋮⋮⋮1000010000100001⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜12110312−2113−62−14⋮⋮⋮⋮0001010000101000⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000312−2535−614510⋮⋮⋮⋮0001010000101−2−1−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000132−2355−651410⋮⋮⋮⋮0001001001001−1−2−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000100−23−4−1−65−10⋮⋮⋮⋮0001001001−3−21−111⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000100−23−1−4−650−1⋮⋮⋮⋮0010000101−2−31−111⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000100−23−10−650−1⋮⋮⋮⋮001−4000101−251−11−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜10000100−23−10000−1⋮⋮⋮⋮24−201−4−6501−3026−2519−161−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000010000−10000−1⋮⋮⋮⋮22−171−4−6501−2620−2517−131−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000010000100001⋮⋮⋮⋮22−17−14−650−1−26202−517−13−13⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟(AI)=(1234⋮10002312⋮0100111−1⋮001010−2−6⋮0001)∼(10−2−6⋮00012312⋮0100111−1⋮00101234⋮1000)∼(10−2−6⋮000103514⋮010−20135⋮001−102510⋮100−1)∼(10−2−6⋮00010135⋮001−103514⋮010−202510⋮100−1)∼(10−2−6⋮00010135⋮001−100−4−1⋮01−3100−10⋮10−21)∼(10−2−6⋮00010135⋮001−100−10⋮10−2100−4−1⋮01−31)∼(10−2−6⋮00010135⋮001−100−10⋮10−21000−1⋮−415−3)∼(10−20⋮24−6−30190130⋮−20526−1600−10⋮10−21000−1⋮−415−3)∼(1000⋮22−6−26170100⋮−17520−1300−10⋮10−21000−1⋮−415−3)∼(1000⋮22−6−26170100⋮−17520−130010⋮−102−10001⋮4−1−53)
所以，我们得到
A−1=⎛⎝⎜⎜⎜22−17−14−650−1−26202−517−13−13⎞⎠⎟⎟⎟
