无理数无理性的证明问题

【问题1】求证： 2√ 不是有理数.

证明：
假设 2√ 是有理数，可设 2√=pq ， p、q∈N+ ， q>1 ，且 p、q 互质.
则 p2=2q2 ，因此 p 是偶数.
可设p=2n，n∈N+，得： (2n)2=2q2 ，即 4n2=2q2 ，即 2n2=q2 ，因此 q 是偶数.
因为p、q都是偶数，所以 p、q 有公因子2，与“ p、q 互质”矛盾.
因此假设不成立， 2√ 不是有理数.（证毕）

【问题2】求证： 3√ 不是有理数.

证明：
假设 3√ 是有理数，可设 3√=pq ， p、q∈N+ ， q>1 ，且 p、q 互质.
则 p2=3q2 ，因此 p、q 都是奇数.
可设 p=2n+1，q=2m+1，n、m∈N+ ，得： (2n+1)2=3(2m+1)2 .
化简得： 2n2+2n=6m2+6m+1 .
由于上述等式左边为偶数，右边为奇数，所以等式不成立.
因此假设不成立， 3√ 不是有理数.（证毕）

【问题3】求证：当 n 不是完全平方数时，n√不是有理数.

（完全平方数：若 x∈N+ ，则 x2 为完全平方数.）
证明：
假设 n√ 是有理数，可设 n√=pq ， p、q∈N+ ， q>1 ，且 p、q 互质.
则 p2=nq2 ，因此 q2 是 p2 的因子.
由 p、q 互质可得 p2、q2 互质，即 p、q 仅有公因子1，又因为 q2 是 p2 的因子，因此 q=1 ，与“ q>1 ”矛盾.
因此假设不成立，当 n 不是完全平方数时，n√不是有理数.