多元函数可微性知识点总结

这节的知识点也挺多，主要就是可微和偏导数存在的关系
偏导数：z=f(x,y)，z对x或者y的偏导数就是把另一个当做常数求导，还算简单

判断可微性：

必要条件：
可以写成偏导数都存在，且可以写成 d z = f x d x + f y d y dz=f_xdx+f_ydy dz=fx​dx+fy​dy
f x , f y f_x,f_y fx​,fy​表示f对x，y的偏导。
所以首先求出关于x和y的偏导，然后算出德尔塔z和全增量之间的差 f ( x 0 + d x , y 0 + d y ) − f ( x 0 , y 0 ) − f x ( x 0 , y 0 ) d x − f y ( x 0 , y 0 ) d y f(x_0+dx,y_0+dy)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)dx-f_y(x_0,y_0)dy f(x0​+dx,y0​+dy)−f(x0​,y0​)−fx​(x0​,y0​)dx−fy​(x0​,y0​)dy
结果除以 d x 2 + d y 2 \sqrt{dx^2+dy^2} dx2+dy2 ​看看是不是极限是不是0
注意，如果是求一个点的可微性的时候，求偏导数不要用求导法，直接用偏导数的定义

充分条件：
偏导数存在且连续

中值定理：
如果偏导数存在，则有中值公式：
f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f x ( a , y ) ( x − x 0 ) + f y ( x , b ) ( y − y 0 ) f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(a,y)(x-x_0)+f_y(x,b)(y-y_0) f(x,y)−f(x0​,y0​)=fx​(a,y)(x−x0​)+fy​(x,b)(y−y0​)
a,b是x到 x 0 x_0 x0​，y到 y 0 y_0 y0​的数

求全微分：
求出该点处的偏导，然后写出dz=fxdx+fydy即可

偏导存在，函数连续和可微之间的关系：
偏导存在不一定连续。
连续不一定可微。
可微一定连续，偏导一定存在。
偏导数连续一定可微。
总结一下：
偏导存在和连续没有半毛钱关系。
可微的级别最高，它可以推出连续和偏导存在
只有偏导连续可以推出可微，别的什么函数连续或者偏导存在都不能推可微。

注意：
1.求偏导啥的都算简单的，不要算错
2.遇到求f(x,1)的偏导，就先把y=1带进去
3.遇到求一个点的偏导数，严格用公式 lim ⁡ d x → 0 f x ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + d x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) d x \lim_{dx\to0}f_x(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+dx,y_0)-f(x_0,y_0)}{dx} dx→0lim​fx​(x0​,y0​)=dxf(x0​+dx,y0​)−f(x0​,y0​)​
算就好了，注意求谁的偏导就只有谁变。
4.如果遇到较为复杂的极限不知道是不是存在，最方便的办法就是先用x=y之类的带一下，再用x=0带一下，看看值会不会变
5.求一个点的偏导到底是定义求还是求导求？如果是一些简单的函数，偏导数在该点连续，而且点不是(0,0)附近，可以考虑求导再带，但是最好是定义求。