连续随机变量的概率分布(正态分布)

2023-11-17

  • 概率密度与分布函数
当用函数f(x)来表示连续型随机变量时,我们将f(x)称为概率密度函数(或者密度函数 )
想要求随机变量的概率,可以用 分布函数F(x)来表示,
29002434_gxrk.png
 F(x)为图中阴影部分
29002434_1pv0.png
 如:
F(2)=P(X<=2),就是上图黑色部分的阴影面积
P(2<X<6)=F(6)-F(2),就是6的面积减去2的面积得到红色阴影部分
密度函数的性质及与分布函数的关系
29002435_tj53.png
 
5、 P(X=X)是在连续分布条件下为概率为0,因为只是某个点的话,分布函数面积为0,
这样导致在函数运算中>=跟>,<=跟<其实是一样的
连续型随机变量的期望值与方差定义
29002435_TeLI.png
 
  • 正态分布
1、正态分布的定义及图像特点
如果随机变量X的概率密度
29002435_vKuO.png
 则称X服从正态分布,记作X~N(μ, 29002435_9J8m.png ),其中,- 29002435_c9S6.png <μ< 29002435_smIN.png ,μ为随机变量X的均值, 29002435_nygu.png为随机变量X的标准差,读作西格玛,随机变量X,服从均值为μ,方差为 29002435_9J8m.png的正态分布
2、f(x)的特性
a、f(x)>=0
b、曲线f(x)相对于x=μ对称,并在x=μ处达到最大值,如下
29002435_nAo9.png
 c、 29002435_IwiY.png越大,曲线越平缓, 29002436_rsI8.png越小,曲线越陡峭
d、当x趋于无穷式,曲线以x轴为其渐进线
3、标准正态分布
当μ=0, 29002436_wRUU.png=1时,有标准正态分布N(0,1)如下
29002436_aT1d.png
 对于标准正态 分布,通常有 29002436_O0nF.png表示概率密度函数, 29002436_M7FL.png表示分布函数
29002436_MxQ9.png
  4、标准正态分布的重要特性
设X~N(μ, 29002437_730Z.png ),则有
29002437_Emzb.png
 将一般的正态分布转化为标准正态分布公式
5、正态分布概率计算
a、通过将正态分布转化为标准正态分布,通过查表,就可以解决正态分布的概率计算
b、负值的x,可由此得 到

29002437_IUur.png

计算案例

29002442_c3Ng.jpg

 


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