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积分路径上有奇点的积分_复变函数与积分变换 简明笔记(七)：留数定理

2023-11-18

拖更了两年，最近终于开始补齐之前这篇稿子的内容。之后可能会在暑假期间慢慢写好，保证质量比保证完成速度更重要。

留数理论是复积分和复级数理论结合的产物。在前面详细讨论过洛朗级数和柯西积分定理之后，导出留数理论是很正常的事情——系统建立留数理论，实际上是揭示复级数在复积分中的应用。同时，利用留数定理，可以计算相当一部分难以计算的定积分。

1. 函数在无穷远点的性态

在考虑解析函数的孤立奇点时，把无穷远点放进去，将产生许多有意思的结果。

借助测地投影（也即前面的从球面到扩充复平面的投影），可以在直观上理解无穷远点为孤立奇点的定义：

设

在无穷远点的邻域
（相当于有限点）内为解析，则无穷远点为
的孤立奇点。

回忆我们为了在单位圆外用幂函数展开

所用的变换，也即
。
可以将单位圆内的每一个点映射到单位圆外——同时也可以将单位圆外的每一个点映射到单位圆内。特别地，无穷远点被映射到了0处。所以，如果想要研究函数在无穷远点的表现，可以研究
在0处的表现。

2. 留数概念的引入和计算

柯西曾经考虑了沿两条中间夹有函数极点的、具有公共端点的路径积分之差，从而形成了留数的概念。容易知道，通过将负号看作路径方向的观点，我们可以将两路径积分之差，写作绕这两条路径拼成的闭合回路的环路积分。

由此可以定义留数：称函数

沿该函数的孤立奇点
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