什么是算子?

在知道什么是算子之前我们还需要知道一些其他的相关概念，大概来说，算子是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。广义上的算子可以推广到任何空间，如内积空间等。

映射:

从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的对应关系。对于每一个x，都有唯一的y与之对应。如果对于一个x，对应一个“集合”，而非唯一的一个y，这种对应关系称为“集值映射”。

映射的概念是最一般的。对于映射的操作，最典型的是同伦。对于集值映射，最有名的结果是Kakutani不动点定理及其在博弈论和最优化中的应用。这些内容都属于拓扑学。

集值映射和映射统称为对应。

对应属于“关系”，关系是一个哲学范畴。

算子（即算符）:

广义的讲，对任何函数进行某一项操作都可以认为是一个算子，甚至包括求幂次，开方都可以认为是一个算子，只是有的算子我们用了一个符号来代替他所要进行的运算罢了，所以大家看到算子就不要纠结，它甚至和加减乘除的基本运算符号都没有区别，只是他可以对单对象操作罢了(有的符号比如大于、小于号要对多对象操作)。又比如取概率P{X<x}，概率是集合{X<x}(他是属于实数集的子集)对[0,1]区间的一个映射，我们知道实数域和[0,1]区间是可以一一映射的(这个后面再说)，所以取概率符号P，我们认为也是一个算子，和微分，积分算子算子没区别。总而言之，算子就是映射，就是关系，就是变换。

从一个函数空间（比如Banach空间、Hilbert空间、Sobolev空间）到另一个函数空间。注意，函数空间当然属于拓扑空间，而且是拓扑线性空间，不过是无限维度的。而无限维的拓扑“非线性”空间一般称为Banach流形/Hilbert流形。因此算子属于映射。

有的时候，从有限维空间到有限维空间的映射也会称为“算子”，比如矩阵，是最常见的线性算子。

算子有线性与非线性之分。

有关线性算子的统一结果参考线性泛函分析的Baire纲定理和它的一系列推论：如共鸣定理、Banach逆算子定理以及闭图像定理。它们在工程数学中都有重要的作用。

有关非线性算子的理论需要依托非线性泛函分析，其中最重要的结果还是无限维空间中的隐函数定理。其实这里应该叫“隐算子定理”，但“隐函数”大家都叫了百年叫习惯了。有关非线性算子，更深的内容需要Banach流形上的一些拓扑方法，如伪梯度流和拓扑形变定理。对于非线性算子，最简单、工程数学和经济数学上也最常用的一个结果则是压缩映射原理。

变换:

如果一个算子，其定义域和值域是拓扑线性同构的（线性同胚的），那么这种算子称为“变换”。比如矩阵，就是一个“线性变换”。对于这块内容，线性代数这门课已经作了透彻的研究。再比如Fourier变换,给定一个f(t)就有一个F(w)——这也是函数空间到其线性同构的函数空间的变换。

函数:

一般指从一个有限维空间/有限维流形到数域（实数域或复数域）的映射。“函数”应该是我们最最熟悉的映射了。

有关函数，最重要的结果是微积分中的隐函数定理，这是微分学中最为重要的结果。没有之一。

泛函:

从一个空间（有限维/无限维均可）到数域的映射。听名字也知道，普通的函数也属于泛函。但一般情况下，为了强调定义域是无限维空间/无限维流形的，我们会把这一类映射称为泛函。

为什么要强调定义域是无限维的 ？因为无限维与有限维有着拓扑学上的质变。比如，对于定义在紧集上的连续实值函数，必能取到最大值最小值，但对于泛函，这一结论并不成立。

有关线性泛函的重要结论有Hahn Banach定理以及Riesz表示定理以及弱收敛方法等一系列结果。

对于非线性泛函的研究主要参考变分方法（参考张恭庆的临界点理论）和非线性偏微分方程理论。

总结:

函数属于泛函，泛函和变换都属于算子，算子属于映射