定义： n n n个有次序的数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} a1,a2,⋯,an所组成的数组称为 n n n维向量，这 n n n个数称为该向量的 n n n个分量，第 i i i个数 a i a_{i} ai称为第 i i i个分量
向量可以使行向量，也可以是列向量
给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m} A:a1,a2,⋯,am，对于任何一组实数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_{1},k_{2},\cdots,k_{m} k1,k2,⋯,km，表达式 k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots+k_{m}a_{m} k1a1+k2a2+⋯+kmam称为向量组 A A A的一个线性组合， k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_{1},k_{2},\cdots,k_{n} k1,k2,⋯,kn称为这个线性组合的系数
给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m} A:a1,a2,⋯,am和向量 b b b，如果存在一组数 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m \lambda_{1},\lambda_2,\cdots,\lambda_{m} λ1,λ2,⋯,λm，使 b = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ + λ m a m b=\lambda_1a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots+\lambda_ma_m b=λ1a1+λ2a2+⋯+λmam，则向量 b b b是向量组 A A A的线性组合，这时称向量 b b b能由向量组 A A A线性表示
向量 b b b能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m} A:a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}) A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b ) B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b) B=(a1,a2,⋯,am,b)的秩
(
a
1
⋯
a
m
)
(
λ
1
⋮
λ
m
)
=
b
=
λ
1
a
1
+
⋯
+
λ
m
a
m
\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1\\\vdots\\\lambda_m\end{pmatrix}=b=\lambda_1a_1+\cdots+\lambda_{m}a_{m}
(a1⋯am)⎝⎜⎛λ1⋮λm⎠⎟⎞=b=λ1a1+⋯+λmam
即
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有解
⇔
r
(
A
)
=
r
(
A
∣
b
)
=
m
\Leftrightarrow r(A)=r(A|b)=m
⇔r(A)=r(A∣b)=m
设有两个向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am及 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l} B:b1,b2,⋯,bl，若 B B B组中的每个向量都能由向量组 A A A线性表示，则称向量组 B B B能由向量组 A A A线性表示。若向量组 A A A与向量组 B B B能相互线性表示，则称两个向量组等价
向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l} B:b1,b2,⋯,bl能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性表示的充分必要条件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}) A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于矩阵 ( A , B ) = ( a 1 , ⋯ , a m , b 1 , ⋯ , b l ) (A,B)=(a_{1},\cdots,a_{m},b_{1},\cdots,b_{l}) (A,B)=(a1,⋯,am,b1,⋯,bl)的秩，即 R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B)
简单说明： r ( A ) = r ( A , b i ) r(A)=r(A,b_{i}) r(A)=r(A,bi)
向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m} A:a1,a2,⋯,am与向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{l} B:b1,b2,⋯,bl等价的充要条件是 R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(A)=R(B)=R(A,B) R(A)=R(B)=R(A,B)，其中 A A A和 B B B是向量组 A A A和 B B B所构成的矩阵
化简后类似于 ( A ∣ B ) = ( 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 ) (A|B)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&&&1&&\\0&1&&0&1&\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right) (A∣B)=⎝⎛100101100101⎠⎞。只关注 R R R，数字随便写的
设向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:b_{1},b_2,\cdots,b_l B:b1,b2,⋯,bl能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am线性表示，则 R ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) ≤ R ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) R(b_1,b_2,\cdots,b_{l})\leq R(a_1,a_2,\cdots,a_m) R(b1,b2,⋯,bl)≤R(a1,a2,⋯,am)
化简后类似于 ( A ∣ B ) = ( 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 ) (A|B)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&&&1&&\\0&1&&0&1&\\0&0&1&0&0&0\end{array}\right) (A∣B)=⎝⎛100101100100⎠⎞。只关注 R R R，数字随便写的
例1：设
a
1
=
(
1
1
2
2
)
,
a
2
=
(
1
2
1
3
)
,
a
3
=
(
1
−
1
4
0
)
,
b
=
(
1
0
3
1
)
a_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}
a1=⎝⎜⎜⎛1122⎠⎟⎟⎞,a2=⎝⎜⎜⎛1213⎠⎟⎟⎞,a3=⎝⎜⎜⎛1−140⎠⎟⎟⎞,b=⎝⎜⎜⎛1031⎠⎟⎟⎞，证明向量
b
b
b能由向量组
a
1
,
a
2
,
a
3
a_1,a_2,a_3
a1,a2,a3线性表示，并求出表示式
(
a
1
a
2
a
3
b
)
→
(
1
1
1
1
0
1
−
2
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
(a1a2a3b)→⎝⎜⎜⎛100011001−2001−100⎠⎟⎟⎞
（问能不能用线性表示只需要化简到这里就行了，不需要化成行最简形式）
∵
r
(
a
1
a
2
a
3
)
=
r
(
a
1
a
2
a
3
b
)
=
2
\because r \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}=2
∵r(a1a2a3)=r(a1a2a3b)=2
∴
b
\therefore b
∴b可由
a
1
,
a
2
,
a
3
a_1,a_2,a_3
a1,a2,a3表示
(
a
1
a
2
a
3
b
)
→
(
1
0
3
2
0
1
−
2
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & b\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
(a1a2a3b)→⎝⎜⎜⎛100001003−2002−100⎠⎟⎟⎞
n
−
r
=
3
−
2
=
1
n-r=3-2=1
n−r=3−2=1
∴
ξ
=
(
−
3
2
1
)
,
η
=
(
−
2
1
0
)
\therefore \xi=\begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix},\eta=\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}
∴ξ=⎝⎛−321⎠⎞,η=⎝⎛−210⎠⎞
∴
η
+
k
ξ
=
(
2
−
3
k
−
1
+
2
k
k
)
\therefore \eta+k \xi=\begin{pmatrix}2-3k \\ -1+2k \\ k\end{pmatrix}
∴η+kξ=⎝⎛2−3k−1+2kk⎠⎞
故
b
=
(
2
−
3
k
)
a
1
+
(
−
1
+
2
k
)
a
2
+
k
a
3
(
k
b=(2-3k)a_{1}+(-1+2k)a_{2}+ka_{3}\quad(k
b=(2−3k)a1+(−1+2k)a2+ka3(k为任意常数
)
)
)
给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km，使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，则称向量组 A A A是线性无关的，否则称它线性无关
向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a m a_1,a_2,\cdots,a_m a1,a2,⋯,am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) A=(a_1,a_2,\cdots,a_m) A=(a1,a2,⋯,am)的秩小于向量个数 m m m。即， r ( a 1 ⋯ a m ) < m r(a_{1}\cdots a_m)<m r(a1⋯am)<m，其中 m m m是向量个数
A x = ( a 1 ⋯ a m ) ( x 1 ⋮ x n ) = O Ax=\begin{pmatrix}a_{1}\cdots a_{m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}=O Ax=(a1⋯am)⎝⎜⎛x1⋮xn⎠⎟⎞=O
向量组线性无关的充要条件是 R ( A ) = m R(A)=m R(A)=m
若向量组： A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m} A:a1,a2,⋯,am线性相关，则向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , a m + 1 B:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},a_{m+1} B:a1,a2,⋯,am,am+1也线性相关。反言之，若向量组 B B B线性无关，则向量组 A A A也线性无关。即部分相关，则整体相关。
k 1 a 1 + ⋯ + k m a m + k m + 1 a m + 1 = 0 k_{1}a_{1}+\cdots+k_{m}a_{m}+k_{m+1}a_{m+1}=0 k1a1+⋯+kmam+km+1am+1=0，令 k m + 1 = 0 k_{m+1}=0 km+1=0，由于 A A A线性相关，则 B B B线性相关
m m m个 n n n维向量组成的向量组，当维数 n n n小于向量个数 m m m时一定线性相关。特别的， n + 1 n+1 n+1个 n n n维向量一定线性相关
A = [ ] n × m ≤ min { m , n } = n < m A=[\quad]_{n\times m}\leq\min\{m,n\}=n<m A=[]n×m≤min{m,n}=n<m
设向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m} A:a1,a2,⋯,am线性相关，而向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , b B:a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},b B:a1,a2,⋯,am,b线性相关，则向量 b b b必能由向量组 A A A线性表示，且表示式是唯一的
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b
r
(
a
1
⋯
a
m
)
=
m
=
r
(
a
1
⋯
a
m
b
)
r \begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m}\end{pmatrix}=m=r \begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m} & b\end{pmatrix}
r(a1⋯am)=m=r(a1⋯amb)
A
x
=
(
a
1
⋯
a
m
)
x
=
b
⇒
x
1
a
1
+
x
2
a
2
+
⋯
+
x
m
a
m
=
b
Ax=\begin{pmatrix}a_{1} & \cdots & a_{m}\end{pmatrix}x=b \Rightarrow x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{m}a_{m}=b
Ax=(a1⋯am)x=b⇒x1a1+x2a2+⋯+xmam=b
例1：已知向量组
a
1
,
a
2
,
a
3
a_{1},a_{2},a_{3}
a1,a2,a3线性无关，
b
1
=
a
1
+
a
2
,
b
2
=
a
2
+
a
3
,
b
3
=
a
3
+
a
1
b_{1}=a_{1}+a_{2},b_{2}=a_{2}+a_{3},b_{3}=a_{3}+a_{1}
b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1，试证向量组
b
1
,
b
2
,
b
3
b_{1},b_{2},b_{3}
b1,b2,b3线性无关
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
a
1
a
2
a
3
)
(
1
0
1
1
1
0
0
1
1
)
⇒
B
=
A
C
\begin{pmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \Rightarrow B=AC
(b1b2b3)=(a1a2a3)⎝⎛110011101⎠⎞⇒B=AC
∵
∣
C
∣
=
2
≠
0
\because |C|=2\ne0
∵∣C∣=2=0
∴
C
\therefore C
∴C可逆
∴
r
(
B
)
=
r
(
A
C
)
≤
min
{
r
(
A
)
,
r
(
C
)
}
=
3
\therefore r(B)=r(AC)\leq\min\{r(A),r(C)\}=3
∴r(B)=r(AC)≤min{r(A),r(C)}=3
∵
B
C
−
1
=
A
\because BC^{-1}=A
∵BC−1=A
又
∵
3
=
r
(
A
)
=
r
(
B
C
−
1
)
≤
min
{
r
(
B
)
,
r
(
C
−
1
)
}
≤
r
(
B
)
\because3=r(A)=r(BC^{-1})\leq\min\{r(B),r(C^{-1})\}\leq r(B)
∵3=r(A)=r(BC−1)≤min{r(B),r(C−1)}≤r(B)
∴
r
(
B
)
≥
3
\therefore r(B)\geq3
∴r(B)≥3
又
∵
r
(
B
)
≤
3
\because r(B)\leq3
∵r(B)≤3
∴
r
(
B
)
=
3
\therefore r(B)=3
∴r(B)=3
故
b
1
,
b
2
,
b
3
b_{1},b_{2},b_{3}
b1,b2,b3线性无关
设向量组 A A A，如果在 A A A中能选出 r r r个向量 a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_{1},a_{2},\cdots,a_{r} a1,a2,⋯,ar，满足
那么称向量组 A 0 A_{0} A0是向量组 A A A的一个最/极大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数 r r r称为向量组 A A A的秩，记作 R A R_{A} RA
矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
设向量组 A 0 : a 1 , a 2 , ⋯ , a r A_{0}:a_{1},a_{2},\cdots,a_{r} A0:a1,a2,⋯,ar是向量组 A A A的一个部分组，且满足
那么向量组 A 0 A_{0} A0便是向量组 A A A的一个最大无关组
向量组 b 1 , b 2 , ⋯ , b l b_{1},b_{2},\cdots,b_{l} b1,b2,⋯,bl能由向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a m a_{1},a_{2},\cdots,a_{m} a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件是 R ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) = R ( a 1 , ⋯ , a m , b 1 , ⋯ , b l ) R(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})=R(a_{1},\cdots,a_{m},b_{1},\cdots,b_{l}) R(a1,a2,⋯,am)=R(a1,⋯,am,b1,⋯,bl)
若向量组 B B B能由向量组 A A A线性表示，则 R B ≤ R A R_{B}\leq R_{A} RB≤RA
求向量组的最大无关组相关问题
例1：设矩阵
A
=
(
2
−
1
−
1
1
2
1
1
−
2
1
4
4
−
6
2
−
2
4
3
6
−
9
7
9
)
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}
A=⎝⎜⎜⎛2143−11−66−1−22−911−272449⎠⎟⎟⎞，求矩阵
A
A
A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示
A
⇒
(
1
0
−
1
0
4
0
1
−
1
0
3
0
0
0
1
−
3
0
0
0
0
0
)
A \Rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
A⇒⎝⎜⎜⎛10000100−1−100001043−30⎠⎟⎟⎞
则极大无关组为
(
2
1
4
3
)
,
(
−
1
1
−
6
6
)
,
(
1
1
−
2
7
)
\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -6 \\ 6\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \\ 7\end{pmatrix}
⎝⎜⎜⎛2143⎠⎟⎟⎞,⎝⎜⎜⎛−11−66⎠⎟⎟⎞,⎝⎜⎜⎛11−27⎠⎟⎟⎞
列向量从左到右分别设为
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
5
\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{5}
α1,α2,⋯,α5
α
3
=
−
α
1
−
α
2
,
α
5
=
4
α
1
+
α
2
−
α
4
\alpha_3=-\alpha_1-\alpha_2,\alpha_5=4\alpha_1+\alpha_2-\alpha_4
α3=−α1−α2,α5=4α1+α2−α4
