Acwing 890. 能被整除的数

 注：|S|表示集合S中的元素个数

 对于{S1 U S2 U S3 U ... U Sn}中的任意一个元素x，证明在等式右侧只被计算一次。

上述证明中假设x属于k个集合，推出x会被计算的次数

注：Si是指1~n中i的倍数的个数 

使用容斥原理的时间复杂度是O(2^m)

能被k个质数同时整除的数的个数：

 每一个交集的元素个数，计算时的时间复杂度是O(k)，因为要做k次乘法

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 20;

int n, m;
int p[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++ i) cin >> p[i];
    
    int res = 0;
    //枚举从1 到 1111...(m个1)的每一个集合状态, (至少选中一个集合)
    for (int i = 1; i < 1 << m; ++ i)
    {
        // cnt表示选中的集合数量
        // t表示选中集合对应质数的乘积
        int cnt = 0, t = 1;
        
        // 枚举当前状态的每一位
        for (int j = 0; j < m; ++ j)
        {
            // 选中一个集合
            if (i >> j & 1)
            {
                cnt ++;     // 有一个1，集合数量+1
                
                // 乘积大于n，则n / t = 0，跳出这轮循环
                if ((LL) t * p[j] > n)
                {
                    t = -1;
                    break;
                }
                t = t * p[j];
            }
        }
        
        if (t != -1)
        {
            //选中奇数个集合, 则系数应该是1, n/t为当前这种状态的集合数量
            if (cnt % 2) res += n / t;
            // 反之，系数为-1
            else res -= n / t;
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}