最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常用的两种参数估计方法，如果不理解这两种方法的思路，很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。
但别急，我们先从概率和统计的区别讲起。
概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。
概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。 举个例子，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样（预测结果）。
统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉（这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等（推测模型参数）。
一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。
显然，本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢？ 这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。
学习机器学习和模式识别的人一定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)：
P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B) 【式1】
贝叶斯公式看起来很简单，无非是倒了倒条件概率和联合概率的公式。
把B展开，可以写成：
P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|∼A)P(∼A) 【式2】（∼A表示”非A”）
这个式子就很有意思了。
想想这个情况。一辆汽车（或者电瓶车）的警报响了，你通常是什么反应？有小偷？撞车了？ 不。。 你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了！每天都要发生好多次。本来，汽车警报设置的功能是，出现了异常情况，需要人关注。然而，由于虚警实在是太多，人们渐渐不相信警报的功能了。
贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）
我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把A计作“汽车被砸了”，B计作“警报响了”，带进贝叶斯公式里看。我们想求等式左边发生A|B的概率，这是在说警报响了，汽车也确实被砸了。汽车被砸引起（trigger）警报响，即B|A。但是，也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（统统计作∼A），其他原因引起汽车警报响了，即B|∼A。那么，现在突然听见警报响了，这时汽车已经被砸了的概率是多少呢（这即是说，警报响这个证据有了，多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了）？想一想，应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量，除以响警报事件的数量（这即【式1】）。进一步展开，即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量，除以警报响起、汽车被砸了的事件数量加上警报响起、汽车没被砸的事件数量（这即【式2】）。
可能有点绕，请稍稍想一想。
再思考【式2】。想让P(A|B)=1，即警报响了，汽车一定被砸了，该怎么做呢？让P(B|∼A)P(∼A)=0即可。很容易想清楚，假若让P(∼A)=0，即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况，那自然，警报响了，只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。
从这个角度总结贝叶斯公式：做判断的时候，要考虑所有的因素。 老板骂你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出门前和太太吵了一架。
再思考【式2】。观察【式2】右边的分子，P(B|A)为汽车被砸后响警报的概率。姑且仍为这是1吧。但是，若P(A)很小，即汽车被砸的概率本身就很小，则P(B|A)P(A)仍然很小，即【式2】右边分子仍然很小，P(A|B) 还是大不起来。 这里，P(A)即是常说的先验概率，如果A的先验概率很小，就算P(B|A)较大，可能A的后验概率P(A|B)还是不会大（假设P(B|∼A)P(∼A)不变的情况下）。
从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。 发现刚才写的代码编译报错，可是我今天状态特别好，这语言我也很熟悉，犯错的概率很低。因此觉得是编译器出错了。 ————别，还是先再检查下自己的代码吧。
好了好了，说了这么多，下面言归正传，说一说MLE。
——————不行，还得先说似然函数（likelihood function）
似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。
对于这个函数：
P(x|θ)
输入有两个：x表示某一个具体的数据；θ表示模型的参数。
如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。
如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。
这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，f(x,y)=xy, 即x的y次方。如果x是已知确定的(例如x=2)，这就是f(y)=2y, 这是指数函数。 如果y是已知确定的(例如y=2)，这就是f(x)=x2，这是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。
这么说应该清楚了吧？ 如果还没讲清楚，别急，下文会有具体例子。
现在真要先讲讲MLE了。。
假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为θ）各是多少？
这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？ 数据！
于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据（x0）是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率θ是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是 二项分布。
那么，出现实验结果x0（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？
f(x0,θ)=(1−θ)×θ×θ×θ×θ×(1−θ)×θ×θ×θ×(1−θ)=θ7(1−θ)3=f(θ)
注意，这是个只关于θ的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出f(θ)的图像：
可以看出，在θ=0.7时，似然函数取得最大值。
这样，我们已经完成了对θ的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm..这非常直观合理，对吧？）
且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！ 就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信θ=0.7。
这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。 为此，引入了最大后验概率估计。
最大似然估计是求参数θ, 使似然函数P(x0|θ)最大。最大后验概率估计则是想求θ使P(x0|θ)P(θ)最大。求得的θ不单单让似然函数大，θ自己出现的先验概率也得大。 （这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）
MAP其实是在最大化P(θ|x0)=P(x0|θ)P(θ)P(x0)，不过因为x0是确定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），P(x0)是一个已知值，所以去掉了分母P(x0)（假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了n次，则P(x0)=n/1000。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。最大化P(θ|x0)的意义也很明确，x0已经出现了，要求θ取什么值使P(θ|x0)最大。顺带一提，P(θ|x0)即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。
对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“）θ取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设P(θ)为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：
则P(x0|θ)P(θ)的函数图像为：
注意，此时函数取最大值时，θ取值已向左偏移，不再是0.7。实际上，在θ=0.558时函数取得了最大值。即，用最大后验概率估计，得到θ=0.558
最后，那要怎样才能说服一个贝叶斯派相信θ=0.7呢？你得多做点实验。。
如果做了1000次实验，其中700次都是正面向上，这时似然函数为:
如果仍然假设P(θ)为均值0.5，方差0.1的高斯函数，P(x0|θ)P(θ)的函数图像为：
在θ=0.696处，P(x0|θ)P(θ)取得最大值。
这样，就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派，也不得不承认得把θ估计在0.7附近了。
PS. 要是遇上了顽固的贝叶斯派，认为P(θ=0.5)=1 ，那就没得玩了。。 无论怎么做实验，使用MAP估计出来都是θ=0.5。这也说明，一个合理的先验概率假设是很重要的。（通常，先验概率能从数据中直接分析得到）
相信读完上文，MLE和MAP的区别应该是很清楚的了。MAP就是多个作为因子的先验概率P(θ)。或者，也可以反过来，认为MLE是把先验概率P(θ)认为等于1，即认为θ是均匀分布。
