定点数的表示

• 定点数：小数点的位置固定

例：996.007； -- 常规计数

• 浮点数：小数点的位置不固定

例：9.96007 * 10^2； -- 科学计数法

• 二进制的定点数、浮点数也类似

无符号数

• 整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位(+ -)，相当于数的绝对值

例：1001 1100B
= 1 * 2^7 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2
= 156D

• 表示范围

例：8位二进制数： 2^8种状态(0000 0000 ~ 1111 1111) = 0 ~ 256
= 1 0000 0000(256) - 1
= 2^8 - 1

• n位的无符号数表示范围为：0 ~ 2^n - 1

通常只讨论无符号整数，没有无符号小数，例如C语言中unsigned只能修饰int、long等整数类型，修饰float编译器则会报错

有符号数

• 定点整数表示

• 定点小数表示

• 可用原码、反码、补码三种方式来表示定点整数和定点小数，还可用移码表示定点整数

• 若真值为x，则用[x]原、[x]反、[x]补、[x]移分别表示真值所对应的原码、反码、补码、移码

原码

• 用尾数表示真值的绝对值，符号位0/1对应正/负

• 例：机器字长为8位，用原码表示+19D，-19D

• 例：机器字长为8位，用原码表示0.75D，-0.75D

• 原码表示范围：

• 原码整数：-(2^n - 1) <= x <= 2^n -1 (原点对称)

• 原码小数：-(1-2^-n) <= x <= 1 - 2^-n (原点对称)

• 真值0有+0和-0两种形式

• [+0]原= 0000 0000

• [-0]原 = 1000 0000

反码

• 若符号位为0，则反码与原码相同

• 例：x = +19D； [x]原 = 0,0010011； [x]反 = 0,0010011

• 例：x = +0.75； [x]原 = 0.1100000； [x]反 = 0.1100000

• 若符号位为1，则数值位全部取反

• 例：x = -19D； [x]原 = 1,0010011； [x]反 = 1,1101100

• 例：x = -0.75； [x]原 = 1.1100000； [x]反 =1.0011111

• 反码表示范围：

• 反码整数：-(2^n - 1) <= x <= 2^n -1 (原点对称)

• 反码小数：-(1-2^-n) <= x <= 1 - 2^-n (原点对称)

• 真值0有+0和-0两种形式

• [+0]原= 0000 0000； [+0]反 = 0000 0000

• [-0]原 = 1000 0000； [-0]反 = 1111 1111

反码只是原码转变为补码的一个中间状态，并没有实际作用

补码

• 正数的补码 = 原码

• 例：x = +19D； [x]原 = 0,0010011； [x]反 = 0,0010011； [x]补 = 0,0010011

• 例：x = +0.75； [x]原 = 0.1100000； [x]反 = 0.1100000； [x]补 = 0.1100000

• 负数的补码 = 反码末位 + 1（要考虑进位）

• 例：x = -19D； [x]原 = 1,0010011； [x]反 = 1,1101100； [x]补 = 1,1101101

• 例：x = -0.75； [x]原 = 1.1100000； [x]反 =1.0011111； [x]补 = 1.0100000

• 补码范围表示

• 定点整数补码[x]补 = 1,0000000表示x = -2^7，若机器字长为n + 1位，补码整数的表示范围：-2^n <= x <= 2^n -1

• 定点小数补码[x]补 = 1.0000000表示x = -1，若机器字长为n + 1位，补码小数的表示范围：-1 <= x <= 1 - 2^-n

机器字长同样是n + 1位时，补码比原码反码可多表示一个数

• 真值0只有一种表示形式

• [+0]原= 0000 0000； [+0]反 = 0000 0000； [+0]补 = 0000 0000

• [-0]原 = 1000 0000； [-0]反 = 1111 1111； [-0]补 = 1 0000 0000 = 0000 0000(由于机器字长只有8位，反码只能取后8位)

移码

• 补码的基础上将符号位取反，移码只能用于表示整数

• 例：x = +19D； [x]原 = 0,0010011； [x]反 = 0,0010011； [x]补 = 0,0010011； [x]移 = 1,0010011

• 例：x = -19D； [x]原 = 1,0010011； [x]反 = 1,1101100； [x]补 = 1,1101101； [x]移 = 0.1101101

• 移码范围表示

• 若机器字长为n + 1位，补码整数的表示范围：-2^n <= x <= 2^n -1（与补码相同）

• 真值0只有一种表示形式

• [+0]原= 0000 0000； [+0]反 = 0000 0000； [+0]补 = 0000 0000； [+0]移 = 1000 0000

• [-0]原 = 1000 0000； [-0]反 = 1111 1111； [-0]补 = 1 0000 0000 = 0000 0000(由于机器字长只有8位，反码只能取后8位) ； [-0]移 = 1000 0000

• 移码的作用：补码与移码为一一映射关系，真值增大，移码表示的无符号数随之逐一递增，移码将符号位融合进了数值中，因此移码表示的整数很方便计算机运算时对比大小；对比方式为将两个数从高位至低位对比，先出现1的数大

练习

• 例：定点整数x=50，用8位原码、反码、补码、移码表示

[x]原 = 0011 0010
[x]反 = 0011 0010
[x]补 = 0011 0010
[x]移 = 1011 0010

• 例：定点整数x=-100，用8位原码、反码、补码、移码表示

[x]原 = 1110 0100
[x]反 = 1001 1011
[x]补 = 1001 1100
[x]移 = 0001 1100

• 例：求下列各种码对应的真值

[x]原 = 1000 1101 => x = -8 + -4 + -1 = -13
[x]反 = 1000 1101 => [x]原 = 1111 0010 => x = -64 + -32 + -16 + -2 = -114
[x]补 = 1000 1101 => [x]原 = 1111 0010 + 1 = 1111 0011 => x = - 64 + -32 + -16 + -2 + -1 = -115
[x]移 = 1000 1101 => [x]补 = 0000 1101 => [x]原 = 0000 1101 => x = 8 + 4 + 1 = 13

[x]原 = 0000 1101 => x = 8 + 4 + 1 = 13
[x]反 = 0000 1101 => [x]原 = 0000 1101 => x = 8 + 4 + 1 = 13
[x]补 = 0000 1101 => [x]原 = 0000 1101 = 1111 0011 => x = 8 + 4 + 1 = 13
[x]移 = 0000 1101 => [x]补 = 1000 1101 => [x]原 = 1111 0010 + 1 = 1111 0011 => x = -64 + -32 + -16 + -2 + -1 = -115

• 技巧：由[x]补快速求[-x]补的方法

• 将符号位、数值位全部取反，末尾＋1

• 例：[x]补 = 0000 1101； [-x]补 = 1111 0010 + 1 = 1111 0011 = 13D

无论使用哪种码，小数点位置（隐含）默认在整数数值部分的最后，在小数数值部分的开头