最大k乘积问题--动态规划

问题

问题描述：
设x是一个n位十进制整数。如果将x划分为k段，则可得到k个整数。这k个整数的乘积称为x的一个k乘积。试设计一个算法，对于给定的x和k，求出x的最大k乘积。

编程任务：
对于给定的x和k，编程计算x的最大k 乘积。

示例
Sample Input：
请输入整数位数n：4
请输入整数划分位数k：3
请输入4位整数x：1234

Sample Output：
1234的k-1次分割后的最大k乘积是：144

推导过程

将一个n位的数字划分为k段，注意到分为k段是一个多阶段决策测问题，应采用动态规划算法来求解是适宜的。

推导打表过程：

（假设输入4位整数1234划分为3段求最大乘积数）
第一列：表示整数只分一段，结果就是本身。
第二列：表示整数分为两段。
f(2,2)=max{f(1,1)num(1,2)}= max{12}=2;
f(3,2)=max{f(1,1)num(2,3),f(2,1)num(3,3)}=max{123,123}=36;
f(4,2)=max{f(1,1)num(2,3),f(2,1)num(3,4),f(3,1)num(4,4)}=
max{1234,1234,1234}=492;
第三列：表示整数分三段。
f(3,3)=max{f(2,2)num(3,3)}=max{123}=6;
f(4,3)=max{f(2,2)num(3,4),f(3,2)num(4,4)}=max{1234,364}=144;

状态转移方程：
f(i,j):表示前i个数分为j段后的最大乘积数。num(i,j)表示第i位开始到第j位的数。一般为了求取f(i,j),求数前i位，设前h个数中已经分成了j-1段，此时最大乘积为(h,j-1)*num(j+1,i)。f(i,j)=max{f(h,j-1)*num(j+1,i)} (j-1<=h<=i-1)

边界条件：
前面i个数字没有进行划分是值显然为前i个数字组成的整数，因而得到边界值为：
f(i,1)=num(1,i) (1<=i<=n)

打印结果乘号：
为了能够打印相应的插入乘号的乘积式，设置标注位置的数组t[j]和c[i][j]，其中c[i][j]是为了相应的f[i][j]的第j-1个划分点的位置，而t[j]表明了第j-1个乘号的位置。
当给数组赋值f[i][j]=f[h][j-1]*num(h+1,i)时，做相应赋值c[i][j-1]=h,表明f[i][j]的第j-1个乘号的位置时h。在求得f[n][k]时第k-1个乘号的位置t[k-1]=c[n][k-1]=h的基础上，其他tj可应用t[j]=c[t[j+1]][j]逆推产生。

具体案例实现流程
利用notability实现推导6位数字765438划分为4段求解最大乘积问题

代码实现：
c++代码：（重点代码有标注**–**）

`#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
string x;//全局变量 

int num(int i,int j)//是为了截取从i开始的长度为j的数字
{
	int sum=0;
	for(int k=i;k<=j;k++)//将字符串转换为相对应的数，如字符串123->数123 
	{
		**sum=sum*10+(x[k-1]-'0');**
	}
	return sum;//返回字符串中所截取到的数 
}

int main()
{
	int n,k;//初始条件输入 
	cout<<"请输入整数位数n：";
	cin>>n;
	cout<<"请输入整数划分位数k：";
	cin>>k;		//n位数被分为k段
	cout<<"请输入"<<n<<"位整数x：";
	cin>>x;		//输入的数
	int f[n+1][k+1];//f[i][j]: 数字的前i位数被分为j段所得到的最大乘积  1/2/34
	int i,j,h;
	int t[k];//建立划分点 
	int c[n][k];
	
	//初始化 
	for(i=1;i<=n;i++)//表示是第一列的内容，数只分为一段，于是这部分的数就是当前内容
	{
		for(j=1;j<=k;j++)
		{
			f[i][j]=0;
		}
		**f[i][1]=num(1,i);//边界条件** 
	}
	//这段 j=1 是不将数字分段，就是前i位数
    //num(1,i)是指截取从第0位到第i-1位的数 
    //（1234：f[1][1]=1,f[2][1]=12,f[3][1]=123,f[4][1]=1234)
    
	for(j=2;j<=k;j++)//分为j段
	{
		for(i=j;i<=n;i++)//前i位数 
		{
			 
			for(h=j-1;h<i;h++)//h为划分点，这是在对前面i个数进行划分，这也只是划分点数的位置，并非是数 
			{
				//f[h][j-1]*num(h+1,i)=前h个数被分为j-1段最大的乘积 *第j段的数（也就是没有并入前h个数的i-h个数） 
				if(f[i][j]<f[h][j-1]*num(h+1,i))//这里是在判断前面 
				{
					**f[i][j]=f[h][j-1]*num(h+1,i)**;//记录当前位置的最大值 
					**c[i][j-1]=h;**	//记录当前求出最大值的断点位置，也就是插入乘号的位置，这个位置是数	
				}
			}
		}	
	}
	
	t[k-1]=c[n][k-1];//记录当前倒数第一个断点位置 
	for(j=k-2;j>=1;j--)//逆推出第j个乘号的位置t[j] 
	{
		**t[j]=c[t[j+1]][j];**//这是在利用后一个断点位置找出前一个断点位置 
	}
	t[0]=0;//t数组没有插入断点，此处赋值是为了后面输出结果 
	t[k]=n;//t数组的k位没有插入断点，此处赋值是为了后面输出结果 
	cout<<endl;
	
	cout<<"划分过程乘积最优子结果内容如下（打表）："<<endl;
	cout<<"i\\j\t";
	for(int z=1;z<=k;z++)
	{
		cout<<z<<"\t";
	} 
	cout<<endl;
	
	for(i=1;i<=n;i++)//输出打表内容，求出最优解 
	{
		cout<<" "<<i<<"\t";
		for(j=1;j<=k;j++)
		{
			cout<<f[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}	
	cout<<endl;
	
	cout<<x<<"分成"<<k<<"段后的最大k乘积是：";
	for(j=1;j<=k;j++)//输出最优值的分割内容 
	{	
		**for(int u=t[j-1]+1;u<=t[j];u++)**//输出从一个断点到另一个断点中间的数 
		{
			cout<<x[u-1];	
		}
		if(j<k)//输出乘号做分割 
		{
			cout<<"*";
		}
	}
	//输出最优值 
	cout<<"="<<f[n][k]<<endl;
}`

输出结果测试：


添加：
（由于本人是编程小白第一次写blog，文章内容有些优化不足。并且该解法只能解决较简单的最大k乘积问题，不能解决较长的数据，等待更深入的学习后，作者会添加更优的解法，如果有其他大佬有更好的解法欢迎分享！）