如何高效地将三角矩阵存储在内存中？

我想存储一个下三角矩阵在内存中，而不存储所有的零。 我实现它的方法是分配空间i + 1上的元素i扔。 然而，我对 C 中的动态内存分配很陌生，我的第一次分配似乎出了问题。

int main ()
{
    int i, j;
    int **mat1;
    int dim;

    scanf("%d", &dim);
    *mat1 = (int**) calloc(dim, sizeof(int*));

    for(i = 0; i < dim; i++)
    mat1[i] = (int*) calloc(i + 1, sizeof(int));

    for(i = 0; i < dim; i++)
    {
        for(j = 0; j < i + 1; j++)
        {
            scanf("%d", &mat1[i][j]);
        }
    }

    /* Print the matrix without the zeros*/
    for(i = 0; i < dim; i++)
    {
        for(j = 0; j < (i + 1); j++)
        {
            printf("%d%c", mat1[i][j], j != (dim-1) ? ' ' : '\n');
        }
    }

    return 0;
}

如果您想节省空间和分配矩阵每一行的开销，您可以通过使用单个数组的巧妙索引来实现三角矩阵。

下三角矩阵（包括对角线）具有以下属性：

Dimension   Matrix    Elements/row   Total elements
1           x . . .   1              1
2           x x . .   2              3
3           x x x .   3              6
4           x x x x   4              10
...
  

给定维度的元素总数为：

size(d) = 1 + 2 + 3 + ... + d  =  (d+1)(d/2)

如果将行连续放置在单个数组中，则可以使用上面的公式来计算矩阵内给定行和列（均从零开始）的偏移量：

index(r,c) = size(r-1) + c

上面的公式适用于下三角矩阵。您可以通过简单地反转索引来访问上矩阵，就好像它是下矩阵一样：

index((d-1)-r, (d-1)-c)

如果您担心更改阵列的方向，可以为上部阵列设计不同的偏移计算，例如：

uindex(r,c) = size(d)-size(d-r) + c-r

示例代码：

#include <time.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define TRM_SIZE(dim) (((dim)*(dim+1))/2)
#define TRM_OFFSET(r,c) (TRM_SIZE((r)-1)+(c))
#define TRM_INDEX(m,r,c) ((r)<(c) ? 0 : (m)[TRM_OFFSET((r),(c))])
#define TRM_UINDEX(m,r,c,d) ((r)>(c)?0:(m)[TRM_SIZE(d)-TRM_SIZE((d)-(r))+(c)-(r)])
#define UMACRO 0


int main (void)
{
  int i, j, k, dimension;
  int *ml, *mu, *mr;

  printf ("Enter dimension: ");
  if (!scanf ("%2d", &dimension)) {
    return 1;
  }

  ml = calloc (TRM_SIZE(dimension), sizeof *ml);
  mu = calloc (TRM_SIZE(dimension), sizeof *mu);
  mr = calloc (dimension*dimension, sizeof *mr);
  if (!ml || !mu || !mr) {
    free (ml);
    free (mu);
    free (mr);
    return 2;
  }

  /* Initialization */

  srand (time (0));
  for (i = 0; i < TRM_SIZE(dimension); i++) {
    ml[i] = 100.0*rand() / RAND_MAX;
    mu[i] = 100.0*rand() / RAND_MAX;
  }

  /* Multiplication */

  for (i = 0; i < dimension; i++) {
    for (j = 0; j < dimension; j++) {
      for (k = 0; k < dimension; k++) {
        mr[i*dimension + j] +=
#if UMACRO
          TRM_INDEX(ml, i, k) *
          TRM_UINDEX(mu, k, j, dimension);
#else
          TRM_INDEX(ml, i, k) *
          TRM_INDEX(mu, dimension-1-k, dimension-1-j);
#endif
      }
    }
  }

  /* Output */

  puts ("Lower array");
  for (i = 0; i < dimension; i++) {
    for (j = 0; j < dimension; j++) {
      printf (" %2d", TRM_INDEX(ml, i, j));
    }
    putchar ('\n');
  }
  puts ("Upper array");
  for (i = 0; i < dimension; i++) {
    for (j = 0; j < dimension; j++) {
#if UMACRO
      printf (" %2d", TRM_UINDEX(mu, i, j, dimension));
#else
      printf (" %2d", TRM_INDEX(mu, dimension-1-i, dimension-1-j));
#endif
    }
    putchar ('\n');
  }
  puts ("Result");
  for (i = 0; i < dimension; i++) {
    for (j = 0; j < dimension; j++) {
      printf (" %5d", mr[i*dimension + j]);
    }
    putchar ('\n');
  }

  free (mu);
  free (ml);
  free (mr);

  return 0;
}

请注意，这是一个简单的示例。您可以扩展它以将矩阵指针包装在一个结构中，该结构还存储矩阵的类型（上三角或下三角或正方形）和维度，并编写根据矩阵类型适当操作的访问函数。

对于矩阵的任何重要用途，您可能应该使用专门研究矩阵的第三方库。