这个题目说得不清楚，我先猜想题主的意图，可能猜错。
假设是 2 维情况。先有一条贝塞尔曲线组成的线条，假设为红色。之后有个小点在红色线条上移动，小点移动过的路径就是蓝色，还没有移动到的地方就是红色。随着小点移动，线条由红色过渡成蓝色。这个模型可以有多个变化，假如原先线条是无色，小点也是无色，就可以看到一个线条逐渐生成的动画。假如线条保持原状，小点换成小球，就变成小球在路径上滚动的动画。
移动的速度也有歧义，什么叫平滑？有两种可能。匀速的，只需要沿着贝塞尔曲线移动。
考虑重力，路径向下的时候需要加速，路径向上的需要减速。
贝塞尔曲线也有歧义，这里假设是三阶贝塞尔曲线(有两个控制点)，二阶贝塞尔曲线(有一个控制点)可以方便地转化成三阶。下面的提到贝塞尔曲线无特别说明都指三阶。
问题没有说清楚的，别人就很难去回答。上面只是重新描述了问题，下面才是正式回答。
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考虑贝塞尔曲线的参数方程，可以根据 t 值计算出路径点。但这样根据 t 值去做动画并非匀速的。通常曲线问题，都应该先转成直线。直线比曲线容易处理。
一段贝塞尔曲线可以细分成两段，两段可以细分成四段，这个细分过程可以不断递归下去。当细分到一定程度，忽略误差(比如误差小于一像素)，曲线就转化成直线。这个细分过程，可以参考 nanovg 的 nanovg.c 中的 nvg__tesselateBezier 函数。
这样一段贝塞尔曲线就转变成折线，折线由一系列点构成。这时问题就转变成：如何沿着折线运动。这个问题就很简单了，一些基本的向量几何计算就可以解决。但需要注意一个地方，折线由多段线段组成，当沿着折线运动时，某段线段会超出范围，下一段线段就需要补上这个超出的范围。不然从一线段转移到另一线段时，误差就会被积累，动画就会突然跳一下。
匀速问题其实已经解决了。这时再考虑加速和减速，计算两点之间的夹角，可以知道小点是上坡还是下坡，也知道坡度。这时用基本的牛顿物理就可以模拟加速和键速。这种加速度问题，在高中应该做过不少。
大方向就是这些，细节可能有所偏差，需要根据实际情况进行调整。
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