路径压缩和按等级合并如何相辅相成？

我一直在阅读有关联合查找问题的内容。两个主要改进是路径压缩和按等级并集。据我了解，按等级并集用于确定如何组合不相交的树。如果我们有两棵不相交的树 T1 和 T2，那么我们将具有较小等级的树的根附加到具有较高等级的树。如果我们不使用路径压缩，那么排名只是树的深度。这是有道理的，因为我们不想增加树的深度，因为它直接影响查找和并集。

我的问题是当我们也使用路径压缩时。我一直读到这两种优化是相辅相成的，但我没有看到这一点。由于路径压缩，等级不再是树的深度（它成为深度的上限）。假设T1有2个分支（令T1的秩为3），T2的深度为2，秩为2。现在假设我们对下面标有“*”的T1叶子执行查找操作（带有路径压缩）。现在，如果我们合并 T1 的根和 T2 的根，那么 T2 将附加到 T1 的根（因为查找不会更新排名）。生成的树的深度为 3。但是如果我们将 T1 附加到 T2，我们可能会获得更好的性能。

T1:   o   (Rank = 3)    T2:   o  (Rank = 2)
     / \                      |
    o   o                     o
    |                         |
    o                         o
    |   
    *   

在 T1 的叶子上查找后（“*”），然后对 T1 和 T2 的根进行联合，我们得到

T1:    o       (Rank = 3)      T2: o  (Rank = 2)       
     /| |\                         |
    * o o o                        o
                                   |
                                   o
Result of T1 union T2
       o
   / | | |\
  * o o o  o   Rank = 3 and Max Depth = 3
           |
           o
           |
           o

我在这里错过了什么吗？路径压缩和按等级合并如何相辅相成？我知道等级只是树深度的上限，但我不知道按等级并集如何提高结构的整体性能。这比随机组合根的并集好在哪里？

我在这里先向您的帮助表示感谢。

按等级并集可确保树的最大深度为 log N，因此它对每个操作设置 O(log N) 的最坏情况上限。

没有任何特殊联合规则的路径压缩上限为 O(log N)摊销的每次操作的成本，但是不限制最坏情况的成本。 （摊余成本甚至可能有更严格的界限，但我知道如何证明 O(log N)）

结合使用两者，您可以得到最坏情况下的 O(log N) 限制and摊销边界提高到 O(