网络流的相关定义：
- 源点：有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点。
- 汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。
- 容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量则通常是f[i,j].
通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。
- 最大流：把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
求解思路：
首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。
一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
- (1).我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。
- (2).那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
- (3).这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。
- (4).当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。
补充：
- (1).寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做BFS，并不断修改这条路上的delta 量，直到找到源点或者找不到增广路。
- (2).在程序实现的时候，我们通常只是用一个c 数组来记录容量，而不记录流量，当流量+delta 的时候，我们可以通过容量-delta 来实现，以方便程序的实现。
相关问题：
为什么要增加反向边？
在做增广路时可能会阻塞后面的增广路，或者说，做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。
但我们是任意找的，为了修正，就每次将流量加在了反向弧上，让后面的流能够进行自我调整。
举例：
比如说下面这个网络流模型
我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。
于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）
这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。
但是，
这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。
那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？
问题就在于我们没有给程序一个“后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。
那么如何解决这个问题呢？
我们利用一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。
我们直接来看它是如何解决的：
在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。
c[x,y]-=delta;c[y,x]+=delta;
我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下：
这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。
那么，这么做为什么会是对的呢？
事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。
如果这里没有2-4怎么办？
这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点
同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流。
附录：(edmonds-Karp版本)
1: void update_residual_network(int u,int flow){2: while(pre[u]!=-1){3: map[pre[u]][u]-=flow;4: map[u][pre[u]]+=flow;5: u=pre[u];6: }7: }8: int find_path_bfs(int s,int t){9: memset(visited,0,sizeof(visited));10: memset(pre,-1,sizeof(pre));11: visited[s]=1;12: int min=INF;13: queue<int> q;14: q.push(s);15:16: while(!q.empty()){17: int cur=q.front();q.pop();18: if(cur==t) break;19:20: for(int i = 1 ; i <= m ; i++ ){21: if( visited[i] == 0 && map[cur][i] != 0){22: q.push(i);23: min=(min<map[cur][i]?min:map[cur][i]) ;24: pre[i]=cur;25: visited[i]=1;26: }27: }28: }29: if(pre[t]==-1) return 0;30:31: return min;32: }33: int edmonds_karp(int s,int t){34: int new_flow=0;35: int max_flow=0;36: do{37: new_flow = find_path_bfs(s,t);38: update_residual_network(t,new_flow);39: max_flow += new_flow;40: }while( new_flow != 0 );41: return max_flow;42: }一直找增广路不难实现，但是路径探索是用bfs，可能会探测很多多余的路径，，用dicnic优化（dfs）可以使短的路径优先，这样减小了dfs的深度，一旦短路切断了到终端的路径就不用再去考虑长路从而缩短时间。
Dinic主要过程：
int Dinic()
{
int Ans=0;//记录最大流量
while (bfs())
{
while (int d=dfs(s,inf))
Ans+=d;
}
return Ans;
}
bfs分层图过程：
bool bfs()
{
queue<int> Q;//定义一个bfs寻找分层图时的队列
while (!Q.empty())
Q.pop();
memset(Depth,0,sizeof(Depth));
Depth[s]=1;//源点深度为1
Q.push(s);
do
{
int u=Q.front();
Q.pop();
for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i]) //链式前向星，方便取边的编号，因为如果是u->v,v->u都有边就不好建立反向边，可以与1异或来设计反向边即一个边有两个编号
if ((W[i]>0)&&(Depth[V[i]]==0))//若该残量不为0，且V[i]还未分配深度，则给其分配深度并放入队列
{
Depth[V[i]]=Depth[u]+1;
Q.push(V[i]);
}
}
while (!Q.empty());
if (Depth[t]==0)//当汇点的深度不存在时，说明不存在分层图，同时也说明不存在增广路
return 0;
return 1;
}
dfs寻找增广路过程：
int dfs(int u,int dist)//u是当前节点，dist是当前流量
{
if (u==t)//当已经到达汇点，直接返回
return dist;
for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
{
if ((Depth[V[i]]==Depth[u]+1)&&(W[i]!=0))//注意这里要满足分层图和残量不为0两个条件
{
int di=dfs(V[i],min(dist,W[i]));//向下增广
if (di>0)//若增广成功
{
W[i]-=di;//正向边减
W[i^1]+=di;反向边加
return di;//向上传递
}
}
}
return 0;//否则说明没有增广路，返回0
}
Dinic算法还有优化，这个优化被称为当前弧优化，即每一次dfs增广时不从第一条边开始，而是用一个数组cur记录点u之前循环到了哪一条边，以此来加速
总代码如下，修改的地方已在代码中标出：
class Graph
{
int cnt;
int inf=0x3f3f3f;
const int maxM=30000;
int n;
const int maxN=200;
int Head[maxN];
int Next[maxM];
int W[maxM];
int V[maxM];
int Depth[maxN];
int cur[maxN];//cur就是记录当前点u循环到了哪一条边
int s,t;//注意t不要和测试样例个数用同一个变量
void init()
{
cnt=-1;
memset(Head,-1,sizeof(Head));
memset(Next,-1,sizeof(Next));
}
void _Add(int u,int v,int w)
{
cnt++;
Next[cnt]=Head[u];
Head[u]=cnt;
V[cnt]=v;
W[cnt]=w;
}
void Add_Edge(int u,int v,int w)
{
_Add(u,v,w);
_Add(v,u,0);
}
int dfs(int u,int flow)
{
if (u==t)
return flow;
for (int& i=cur[u];i!=-1;i=Next[i])//注意这里的&符号，这样i增加的同时也能改变cur[u]的值，达到记录当前弧的目的，下一次dfs就可以从下一条边开始
{
if ((Depth[V[i]]==Depth[u]+1)&&(W[i]!=0))
{
int di=dfs(V[i],min(flow,W[i]));
if (di>0)
{
W[i]-=di;
W[i^1]+=di;
return di;
}
}
}
return 0;
}
int bfs()
{
queue<int> Q;
while (!Q.empty())
Q.pop();
memset(Depth,0,sizeof(Depth));
Depth[s]=1;
Q.push(s);
do
{
int u=Q.front();
Q.pop();
for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
if ((Depth[V[i]]==0)&&(W[i]>0))
{
Depth[V[i]]=Depth[u]+1;
Q.push(V[i]);
if(V[i]==t)
return 1;
}
}
while (!Q.empty());
if (Depth[t]>0)
return 1;
return 0;
}
int Dinic()
{
int Ans=0;
while (bfs())
{
for (int i=1;i<=n;i++)//每一次建立完分层图后都要把cur置为每一个点的第一条边 感谢@青衫白叙指出这里之前的一个疏漏
cur[i]=Head[i];
while (int d=dfs(s,inf))
{
Ans+=d;
}
}
return Ans;
}
};
//一定要在main（）中init()