如何在 3D 中对固定点进行多项式拟合

我在 3D 空间中有一组 x,y,z 点和另一个名为charge它表示存储在特定 x、y、z 坐标中的电荷量。我想对此数据进行加权（按探测器中沉积的电荷量进行加权，这恰好对应于更多电荷的更高权重），以便它通过给定点（顶点）。

现在，当我在 2D 中执行此操作时，我尝试了各种方法（将顶点带到原点并对所有其他点进行相同的变换，并强制拟合穿过原点，给予顶点非常高的权重）但是没有一个比 Jaime 在这里给出的答案更好：如何用不动点进行多项式拟合

它使用拉格朗日乘子的方法，这是我在本科生高级多变量课程中隐约熟悉的方法，但没有太多其他内容，而且该代码的转换似乎并不像添加 z 坐标那么容易。 （请注意，即使代码没有考虑存入的费用金额，它仍然给了我最好的结果）。我想知道是否有相同算法的版本，但是是 3D 版本。我还在 Gmail 中联系了该答案的作者，但没有收到他的回复。

以下是有关我的数据以及我在 2D 中尝试执行的操作的更多信息：如何权衡散点图中的点以进行拟合？

这是我执行此操作的代码，其中我强制顶点位于原点，然后适合数据设置fit_intercept=False。我目前正在对 2D 数据采用这种方法，因为我不确定拉格朗日乘子是否有 3D 版本，但有一些线性回归方法可以在 3D 中执行此操作，例如，这里：在 3D 中拟合直线:

import numpy as np
import sklearn.linear_model

def plot_best_fit(image_array, vertexX, vertexY):
    weights = np.array(image_array)
    x = np.where(weights>0)[1]
    y = np.where(weights>0)[0]
    size = len(image_array) * len(image_array[0])
    y = np.zeros((len(image_array), len(image_array[0])))
    for i in range(len(np.where(weights>0)[0])):
        y[np.where(weights>0)[0][i]][np.where(weights>0)[1][i]] = np.where(weights>0)[0][i]
    y = y.reshape(size)
    x = np.array(range(len(image_array)) * len(image_array[0]))
    weights = weights.reshape((size))
    for i in range(len(x)):
        x[i] -= vertexX
        y[i] -= vertexY
    model = sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=False)
    model.fit(x.reshape((-1, 1)),y,sample_weight=weights)
    line_x = np.linspace(0, 512, 100).reshape((-1,1))
    pred = model.predict(line_x)
    m, b = np.polyfit(np.linspace(0, 512, 100), np.array(pred), 1)
    angle = math.atan(m) * 180/math.pi
    return line_x, pred, angle, b, m

image_array是一个 numpy 数组并且vertexX and vertexY分别是顶点的 x 和 y 坐标。这是我的数据：https://uploadfiles.io/bbhxo。我无法创建玩具数据，因为没有简单的方法来复制该数据，它是由中微子与氩核相互作用的 Geant4 模拟生成的。我不想摆脱数据的复杂性。而这个特定事件恰好是我的代码不起作用的事件，我不确定是否可以专门生成数据，因此我的代码不起作用。

这更多的是一个手工制作的使用基本优化的解决方案。这是直截了当的。只需测量一点到要拟合的线的距离，并使用基本方法最小化加权距离optimize.leastsq。代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.cm as cm
from scipy import optimize
import numpy as np

def rnd( a ):
    return  a * ( 1 - 2 * np.random.random() ) 

def affine_line( s, theta, phi, x0, y0, z0 ):
    a = np.sin( theta) * np.cos( phi )
    b = np.sin( theta) * np.sin( phi )
    c = np.cos( theta )
    return np.array( [ s * a + x0, s * b + y0, s * c + z0 ] )

def point_to_line_distance( x , y, z , theta, phi, x0, y0, z0 ):
    xx = x - x0
    yy = y - y0
    zz = z - z0
    a = np.sin( theta) * np.cos( phi )
    b = np.sin( theta) * np.sin( phi )
    c = np.cos( theta )
    r = np.array( [ xx, yy, zz ] )
    t = np.array( [ a, b, c ] )
    return np.linalg.norm( r - np.dot( r, t) * t )

def residuals( parameters, fixpoint, data, weights=None ):
    theta, phi = parameters
    x0, y0, z0 = fixpoint
    if weights is None:
        w = np.ones( len( data ) )
    else:
        w = np.array( weights )
    diff = np.array( [ point_to_line_distance( x , y, z , theta, phi , *fixpoint ) for x, y, z in data ] )
    diff = diff * w
    return diff

### some test data
fixpoint = [ 1, 2 , -.3 ]
trueline = np.array( [ affine_line( s, .7, 1.7, *fixpoint ) for s in np.linspace( -1, 2, 50 ) ] )
rndData = np.array( [ np.array( [ a + rnd( .6), b + rnd( .35 ), c + rnd( .45 ) ] ) for a, b, c in trueline ] )
zData = [ 20 * point_to_line_distance( x , y, z , .7, 1.7, *fixpoint ) for x, y, z in rndData ]

### unweighted
bestFitValuesUW, ier= optimize.leastsq(residuals, [ 0, 0],args=( fixpoint, rndData ) )
print bestFitValuesUW
uwLine = np.array( [ affine_line( s, bestFitValuesUW[0], bestFitValuesUW[1], *fixpoint ) for s in np.linspace( -2, 2, 50 ) ] )

### weighted ( chose inverse distance as weight....would be charge in OP's case )
bestFitValuesW, ier= optimize.leastsq(residuals, [ 0, 0],args=( fixpoint, rndData, [ 1./s for s in zData ] ) )
print bestFitValuesW
wLine = np.array( [ affine_line( s, bestFitValuesW[0], bestFitValuesW[1], *fixpoint ) for s in np.linspace( -2, 2, 50 ) ] )

### plotting
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot( 1, 1, 1, projection='3d' )
ax.plot( *np.transpose(trueline ) ) 
ax.scatter( *fixpoint, color='k' )
ax.scatter( rndData[::,0], rndData[::,1], rndData[::,2] , c=zData, cmap=cm.jet )

ax.plot( *np.transpose( uwLine ) ) 
ax.plot( *np.transpose( wLine ) ) 

ax.set_xlim( [ 0, 2.5 ] )
ax.set_ylim( [ 1, 3.5 ] )
ax.set_zlim( [ -1.25, 1.25 ] )

plt.show()

返回

>> [-0.68236386 -1.3057938 ]
>> [-0.70928735 -1.4617517 ]

固定点以黑色显示。原来的线是蓝色的。未加权和加权拟合分别为橙色和绿色。数据根据与线的距离进行着色。