三门问题-概率学习-蒙特卡洛模拟验算

三门问题

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

所以问题在于，究竟要不要换门？换门和不换门有区别吗？
这是一个颠覆常人认知的问题，接下来分别通过概率的理论分析和蒙特卡洛模拟法来进行计算验证。

1.概率论知识进行分析

第一次选择，显然是三种结果——选中有车的门，选中没车的门1，选中没车的门2，概率各自为1/3
第二次选择时，出现了六种子局面：每种情况都存在换门和不换门两种可能。

如下图所示：

换门的获奖率 = （1/3 X 0%）+（1/3 X 100%）+（1/3 X 100%）=2/3
不换门的获奖率 = （1/3 X 100%）+（1/3 X 0%）+（1/3 X 0%）=1/3

显然在一般情况下，换门得到奖品的概率高于不换门得到奖品的概率。

或者，我们也可以这样理解：

若参赛者开始选中的是后面有汽车的门C（概率为1/3），主持人打开后面有山羊的门B。这时参赛者如果换门，选中汽车的概率为1/3*0=0；如果不换门，选中汽车的概率为1/3*1=1/3。

若参赛者开始选中的是后面有山羊的门A（概率为1/3），主持人打开后面有山羊的门B。这时参赛者如果换门，选中汽车的概率为1/3*1=1/3；如果不换门，选中汽车的概率为1/3*0=0。

若参赛者开始选中的是后面有山羊的门B（概率为1/3），主持人打开后面有山羊的门A，这时参赛者如果换门，选中汽车的概率为1*1/3=1/3；如果不换门，选中汽车的概率为1/3*0=0。

综合上述三种情况，参赛者如果选择换门，选中汽车的概率为1/3+1/3=2/3；如果选择不换门，选中汽车的概率为1/3。

2.蒙特卡洛模拟（MATLAB实现）

代码如下：

clc,clear;
n = 100000;  % n代表蒙特卡罗模拟重复次数
a = 0;  % a表示不改变主意时能赢得汽车的次数
b = 0;  % b表示改变主意时能赢得汽车的次数
for i= 1 : n  % 开始模拟n次
    x = randi([1,3]);  % 随机生成一个1-3之间的整数x表示汽车出现在第x扇门后
    y = randi([1,3]);  % 随机生成一个1-3之间的整数y表示自己选的门
    % 下面分为两种情况讨论：x=y和x~=y
    if x == y   % x和y相同时，不改变选择才能赢
        a = a + 1;     b = b + 0;
    else  % x ~= y ，x和y不同时，改变选择才能赢
        a = a + 0;     b = b +1;
    end
end
disp(['蒙特卡罗方法得到的不改变主意时的获奖概率为：', num2str(a/n)]);%disp输出，num to str得到概率
disp(['蒙特卡罗方法得到的改变主意时的获奖概率为：', num2str(b/n)]);

其中某一次运行结果：

总结

在现实中，我们应该充分利用新信息来评估事件的概率，进而做出更优的决策。
“概率存在于被给予的条件下，概率不能寄托在实际的物体上。”