在Python中应用时变过滤器

我正在尝试使用 Python 将具有时变截止频率的带通滤波器应用于信号。我当前使用的例程将信号划分为等长的时间段，然后对于每个段，我应用具有特定时间参数的滤波器，然后将信号合并在一起。这些参数基于预先存在的估计。

我似乎遇到的问题是，应用过滤器后，每个时间段的边缘都会出现“波纹”。这会导致信号不连续，从而干扰我的滤波后数据分析。

我希望有人能告诉我是否有任何现有的例程可以在Python中实现具有时变参数的过滤器？或者，如果我能就如何解决这个问题提出建议，我将不胜感激。

EDIT-- 下面添加了我想要做的示例。

假设我有一个信号 x(t)。我想使用参数为 (100,200) Hz 的带通滤波器对前半部分进行滤波。后半部分我想用参数 (140, 240) Hz 进行过滤。我迭代 x(t)，将过滤器应用于每一半，然后重新组合结果。一些示例代码可能如下所示：

outputArray = np.empty(len(x))
segmentSize = len(x) / 2
filtParams  = [(100, 200), (140, 240)]

for i in range(2):
    tempData     = x[i*segmentSize:(i+1)*segmentSize]
    tempFiltered = bandPassFilter(tempData, parameters=filtParams[i])
    outputArray[i*segmentSize:(i+1)*segmentSize] = tempFiltered

（为了节省空间，我们假设我有一个执行带通滤波的函数）。

正如您所看到的，数据段并不重叠，而是简单地“粘贴”回新数组中。

EDIT 2-- 我的问题的一些示例代码@H.D.

首先，感谢您迄今为止的重要投入。 audiolazy 包看起来是一个很棒的工具。

我认为如果我更详细地描述我的目标会更有用。正如我已经发布的别处，我正在尝试提取瞬时频率(IF) 信号，使用希尔伯特变换。我的数据包含明显的噪声，但我对 IF 信号所在的带宽有很好的估计。然而，我遇到的一个问题是 IF 通常是不稳定的。因此，使用“静态”滤波器方法时，我经常需要使用宽带通区域，以确保捕获所有频率。

以下代码演示了增加滤波器带宽对 IF 信号的影响。它包括一个信号生成函数、使用 scipy.signal 包实现带通滤波器以及提取所得滤波信号的 IF 的方法。

from audiolazy import *
import scipy.signal as sig
import numpy as np
from pylab import *

def sineGenerator( ts, f, rate, noiseLevel=None ):
    """generate a sine tone with time, frequency, sample rate and noise specified"""

    fs = np.ones(len(ts)) * f    
    y  = np.sin(2*np.pi*fs*ts)

    if noiseLevel: y = y + np.random.randn(len(y))/float(noiseLevel)
    return y

def bandPassFilter( y, passFreqs, rate, order ):
    """STATIC bandpass filter using scipy.signal Butterworth filter"""

    nyquist = rate / 2.0
    Wn      = np.array([passFreqs[0]/nyquist, passFreqs[1]/nyquist])    
    z, p, k = sig.butter(order, Wn, btype='bandpass', output='zpk')
    b, a    = sig.zpk2tf(z, p, k)

    return sig.lfilter(b, a, y)

if __name__ == '__main__':
     rate = 1e4
     ts   = np.arange(0, 10, 1/rate)

     # CHANGING THE FILTER AFFECTS THE LEVEL OF NOISE
     ys    = sineGenerator(ts, 600.0, 1e4, noiseLevel=1.0) # a 600Hz signal with noise
     filts = [[500, 700], [550, 650], [580, 620]]

    for f in filts:
        tempFilt = bandPassFilter( ys, f, rate, order=2 )
        tempFreq = instantaneousFrequency( tempFilt, rate )

        plot( ts[1:], tempFreq, alpha=.7, label=str(f).strip('[]') )

    ylim( 500, 750 )
    xlabel( 'time' )
    ylabel( 'instantaneous frequency (Hz)' )

    legend(frameon=False)
    title('changing filter passband and instantaneous frequency')
    savefig('changingPassBand.png')

信号中存在单一频率分量（600Hz）。图例显示了每种情况下使用的过滤器参数。使用较窄的“静态”过滤器可提供“更干净”的输出。但我的滤波器的窄度受到频率的限制。例如，考虑以下具有两个频率分量的信号（一个频率为 600Hz，另一个频率为 650Hz）。

在这个例子中，我被迫使用更宽的带通滤波器，这导致额外的噪声渗透到 IF 数据中。

我的想法是，通过使用时变滤波器，我可以在特定的时间增量“优化”信号的滤波器。因此，对于上述信号，我可能希望在前 5 秒内过滤 580-620Hz 左右的信号，然后在接下来的 5 秒内过滤 630-670Hz 的信号。本质上，我想最大限度地减少最终 IF 信号中的噪声。

根据您发送的示例代码，我编写了一个函数，该函数使用 audiolazy 在信号上实现静态巴特沃斯滤波器。

def audioLazyFilter( y, rate, Wp, Ws ):
    """implement a Butterworth filter using audiolazy"""

    s, Hz = sHz(rate)
    Wp    = Wp * Hz # Bandpass range in rad/sample
    Ws    = Ws * Hz # Bandstop range in rad/sample

    order, new_wp_divpi = sig.buttord(Wp/np.pi, Ws/np.pi, gpass=dB10(.6), gstop=dB10(.1))
    ssfilt = sig.butter(order, new_wp_divpi, btype='bandpass')
    filt_butter = ZFilter(ssfilt[0].tolist(), ssfilt[1].tolist())

    return list(filt_butter(y))

使用此滤波器结合希尔伯特变换例程获得的 IF 数据与使用 scipy.signal 获得的数据进行了很好的比较：

AL_filtered = audioLazyFilter( ys, rate, np.array([580, 620]), np.array([570, 630]) )
SP_filtered = bandPassFilter( ys, [580, 620], rate, order=2 )
plot(ts[1:], instantaneousFrequency( SP_filtered, 1e4 ), alpha=.75, label='scipy.signal Butterworth filter')
plot(ts[1:], instantaneousFrequency( AL_filtered, 1e4 ), 'r', alpha=.75, label='audiolazy Butterworth filter')

我现在的问题是，我可以将audiolazy Butterworth 例程与您在原始帖子中描述的时变属性结合起来吗？

音频懒惰与随时间变化的过滤器一起工作

from audiolazy import sHz, white_noise, line, resonator, AudioIO

rate = 44100
s, Hz = sHz(rate)

sig = white_noise() # Endless white noise Stream

dur = 8 * s # Some few seconds of audio
freq = line(dur, 200, 800) # A lazy iterable range
bw = line(dur, 100, 240)

filt = resonator(freq * Hz, bw * Hz) # A simple bandpass filter

with AudioIO(True) as player:
  player.play(filt(sig), rate=rate)

您还可以使用它来绘图（或一般分析），方法是使用list(filt(sig)) or filt(sig).take(inf)。还有许多其他资源也可能有用，例如直接在 Z 变换滤波器方程中应用时变系数。

编辑：有关 AudioLazy 组件的更多信息

以下示例是使用 IPython 完成的。

谐振器是一个StrategyDict例如，它将许多实现绑定在一个地方。

In [1]: from audiolazy import *

In [2]: resonator
Out[2]: 
{('freq_poles_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.freq_poles_exp>,
 ('freq_z_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.freq_z_exp>,
 ('poles_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.poles_exp>,
 ('z_exp',): <function audiolazy.lazy_filters.z_exp>}

In [3]: resonator.default
Out[3]: <function audiolazy.lazy_filters.poles_exp>

So resonator内部调用resonator.poles_exp函数，从中您可以获得一些帮助

In [4]: resonator.poles_exp?
Type:       function
String Form:<function poles_exp at 0x2a55b18>
File:       /usr/lib/python2.7/site-packages/audiolazy/lazy_filters.py
Definition: resonator.poles_exp(freq, bandwidth)
Docstring:
Resonator filter with 2-poles (conjugated pair) and no zeros (constant
numerator), with exponential approximation for bandwidth calculation.

Parameters
----------
freq :
  Resonant frequency in rad/sample (max gain).
bandwidth :
  Bandwidth frequency range in rad/sample following the equation:

    ``R = exp(-bandwidth / 2)``

  where R is the pole amplitude (radius).

Returns
-------
A ZFilter object.
Gain is normalized to have peak with 0 dB (1.0 amplitude).

因此，详细的过滤器分配将是

filt = resonator.poles_exp(freq=freq * Hz, bandwidth=bw * Hz)

哪里的Hz只是一个将单位从 Hz 更改为 rad/sample 的数字，如大多数 AudioLazy 组件中所使用的那样。

让我们这样做freq = pi/4 and bw = pi/8 (pi已经在audiolazy命名空间）：

In [5]: filt = resonator(freq=pi/4, bandwidth=pi/8)

In [6]: filt
Out[6]: 
              0.233921
------------------------------------
1 - 1.14005 * z^-1 + 0.675232 * z^-2


In [7]: type(filt)
Out[7]: audiolazy.lazy_filters.ZFilter

您可以尝试使用此过滤器而不是第一个示例中给出的过滤器。

另一种方法是使用z包中的对象。 首先让我们找到该全极谐振器的常数：

In [8]: freq, bw = pi/4, pi/8

In [9]: R = e ** (-bw / 2)

In [10]: c = cos(freq) * 2 * R / (1 + R ** 2) # AudioLazy included the cosine

In [11]: gain = (1 - R ** 2) * sqrt(1 - c ** 2)

分母可以直接使用z在等式中：

In [12]: denominator = 1 - 2 * R * c * z ** -1 + R ** 2 * z ** -2

In [13]: gain / denominator
Out[14]: 
              0.233921
------------------------------------
1 - 1.14005 * z^-1 + 0.675232 * z^-2

In [15]: type(_) # The "_" is the last returned value in IPython
Out[15]: audiolazy.lazy_filters.ZFilter

编辑2：关于时变系数

滤波器系数也可以是 Stream 实例（可以从任何可迭代对象进行转换）。

In [16]: coeff = Stream([1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1]) # Cast from a list

In [17]: (1 - coeff * z ** -2)(impulse()).take(inf)
Out[17]: [1.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]

同样，给定一个列表输入而不是impulse() Stream:

In [18]: coeff = Stream((1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1)) # Cast from a tuple 

In [19]: (1 - coeff * z ** -2)([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]).take(inf)
Out[19]: [1.0, 0.0, -1, 0, 0, 0, 0]

NumPy 一维数组也是可迭代的：

In [20]: from numpy import array

In [21]: array_data = array([1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1])

In [22]: coeff = Stream(array_data) # Cast from an array

In [23]: (1 - coeff * z ** -2)([0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]).take(inf)
Out[23]: [0.0, 1.0, 0, 1, 0, 0, 0]

最后一个示例显示了随时间变化的行为。

编辑3：分块重复序列行为

线函数的行为类似于numpy.linspace，它获取范围“长度”而不是“步长”。

In [24]: import numpy

In [25]: numpy.linspace(10, 20, 5) # Start, stop (included), length
Out[25]: array([ 10. ,  12.5,  15. ,  17.5,  20. ])

In [26]: numpy.linspace(10, 20, 5, endpoint=False) # Makes stop not included
Out[26]: array([ 10.,  12.,  14.,  16.,  18.])

In [27]: line(5, 10, 20).take(inf) # Length, start, stop (range-like)
Out[27]: [10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0]

In [28]: line(5, 10, 20, finish=True).take(inf) # Include the "stop"
Out[28]: [10.0, 12.5, 15.0, 17.5, 20.0]

这样，滤波器方程具有不同的每个样本行为（1 个样本“块”）。无论如何，您可以使用转发器来处理更大的块：

In [29]: five_items = _ # List from the last Out[] value

In [30]: @tostream
   ....: def repeater(sig, n):
   ....:     for el in sig:
   ....:         for _ in xrange(n):
   ....:             yield el
   ....:             

In [31]: repeater(five_items, 2).take(inf)
Out[31]: [10.0, 10.0, 12.5, 12.5, 15.0, 15.0, 17.5, 17.5, 20.0, 20.0]

并在第一个示例的行中使用它，这样freq and bw变成：

chunk_size = 100
freq = repeater(line(dur / chunk_size, 200, 800), chunk_size)
bw = repeater(line(dur / chunk_size, 100, 240), chunk_size)

编辑 4：使用时变增益/包络从 LTI 滤波器模拟时变滤波器/系数

另一种方法是对信号的两个不同滤波版本使用不同的“权重”，并对信号进行一些“交叉淡入淡出”数学运算，例如：

signal = thub(sig, 2) # T-Hub is a T (tee) auto-copy
filt1(signal) * line(dur, 0, 1) + filt2(signal) * line(dur, 1, 0)

这将应用来自同一信号的不同滤波版本的线性包络（从 0 到 1 和从 1 到 0）。如果thub看起来很混乱，尝试一下sig1, sig2 = tee(sig, 2)申请filt(sig1) and filt(sig2)相反，这些应该做同样的事情。

编辑 5：时变巴特沃斯滤波器

我花了最后几个小时试图让巴特沃斯个性化作为你的例子，强加order = 2并直接给出半功率带宽（~3dB）。我做了四个例子，代码是在这个要点中，并且我更新了 AudioLazy 以包含gauss_noise高斯分布噪声流。请注意，要点中的代码没有任何优化，它只是在这种特殊情况下工作，并且由于“每个样本”系数查找行为，chirp 示例使其变得非常慢。瞬时频率可以从 rad/sample 中的[过滤]数据中获得：

diff(unwrap(phase(hilbert(filtered_data))))

where diff = 1 - z ** -1或另一种在离散时间内求导数的方法，hilbert是函数scipy.signal它为我们提供了分析信号（离散希尔伯特变换是其结果的虚部），另外两个是 AudioLazy 的辅助函数。

这就是当巴特沃斯突然改变其系数同时保持其记忆而没有噪声时所发生的情况：

在这个转变过程中，出现了明显的振荡行为。您可以使用移动中值来“平滑”较低频率侧的频率，同时保持突然的过渡，但这不适用于较高频率。好吧，这就是我们对完美正弦曲线的期望，但是有了噪声（大量噪声，高斯函数的标准差等于正弦曲线幅度），它就变成了：

然后我尝试用鸣叫声做同样的事情，正是这样：

当在最高频率下使用较低带宽进行滤波时，这显示出奇怪的行为。加上附加噪声：

gist 中的代码也AudioIO().play这最后的嘈杂的鸣叫声。

编辑 6：时变谐振器滤波器

我已经添加到相同的要点使用谐振器代替巴特沃斯的示例。它们采用纯 Python 编写，未经过优化，但执行速度比调用更快butter对于啁啾期间的每个样本，并且更容易实现，因为所有resonator策略接受 Stream 实例作为有效输入。以下是两个谐振器级联（即二阶滤波器）的图：

对于三个谐振器的级联（即三阶滤波器）也是如此：

这些谐振器在中心频率处的增益等于 1 (0 dB)，并且即使根本没有任何滤波，过渡中“突变纯正弦曲线”图的振荡模式也会发生。