Dijkstra 算法的复杂性

我从许多来源了解到，如果使用简单的方法来获取最小元素（线性搜索），Dijkstra 的最短路径也将以 O(V^2) 复杂度运行。但是，如果使用优先级队列，则可以优化为 O(VLogV)，因为该数据结构将在 O(1) 时间内返回 min 元素，但在删除 min 元素后需要 O(LogV) 时间来恢复堆属性。

我已在以下链接中针对 UVA 问题的代码中实现了 Dijkstra 算法：:

#include<iostream>
#include<vector>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <set>

using namespace std;

#define rep(a,b,c) for(int c=a;c<b;c++)

typedef std::vector<int> VI;
typedef std::vector<VI> VVI;

struct cmp {
    bool operator()(const pair<int,int> &a,const pair<int,int> &b) const {
        return a.second < b.second;
    }
};

void sp(VVI &graph,set<pair<int,int>,cmp> &minv,VI &ans,int S,int T) {
    int e = -1;
    minv.insert(pair<int,int>(S,0));
    rep(0,graph.size() && !minv.empty() && minv.begin()->first != T,s) {
        e = minv.begin()->first;
        minv.erase(minv.begin());
        int nb = 0;
        rep(0,graph[e].size(),d) {
            nb = d;
            if(graph[e][d] != INT_MAX && ans[e] + graph[e][d] < ans[d]) {
                set<pair<int,int>,cmp>::iterator si = minv.find(pair<int,int>(d,ans[d]));
                if(si != minv.end())
                    minv.erase(*si);
                ans[d] = ans[e] + graph[e][d];
                minv.insert(pair<int,int>(d,ans[d]));
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    int cc = 0,N = 0,M = 0,S = -1,T = -1,A=-1,B=-1,W=-1;
    VVI graph;
    VI ans;
    set<pair<int,int>,cmp> minv;
    cin >> cc;

    rep(0,cc,i) {
        cin >> N >> M >> S >> T;
        graph.clear();
        ans.clear();
        graph.assign(N,VI());
        ans.assign(graph.size(),INT_MAX);
        minv.clear();
        rep(0,N,j) {
            graph[j].assign(N,INT_MAX);
        }
        ans[S] = 0;
        graph[S][S] = 0;
        rep(0,M,j) {
            cin >> A >> B >> W;
            graph[A][B] = min(W,graph[A][B]);
            graph[B][A] = min(W,graph[B][A]);
        }
        sp(graph,minv,ans,S,T);
        cout << "Case #" << i + 1 << ": ";
        if(ans[T] != INT_MAX)
            cout << ans[T] << endl;
        else
            cout << "unreachable" << endl;
    }
}

根据我的分析，我的算法具有 O(VLogV) 复杂度。 STL std::set 是作为二叉搜索树实现的。此外，该集合也已排序。 因此从中获取最小元素是 O(1)，插入和删除各是 O(LogV)。然而，我仍然从这个问题中得到一个 TLE，根据给定的时间限制，这个问题应该可以在 O(VLogV) 中解决。

这让我进行了更深入的思考。如果所有节点都互连，使得每个顶点 V 都有 V-1 个邻居怎么办？由于每个顶点每轮都必须查看 V-1,V-2,V-3...节点，这不会使 Dijkstra 算法在 O(V^2) 中运行吗？

再想一想，我可能误解了最坏情况的复杂性。有人可以就以下问题向我提供建议吗：

1. 考虑到上述反例，Dijkstra 算法 O(VLogV) 有何特别之处？
2. 如何优化我的代码，使其实现 O(VLogV) 复杂度（或更好）？

Edit:

我意识到我的程序毕竟不能在 O(ElogV) 中运行。瓶颈是由我的输入处理造成的，它的运行时间为 O(V^2)。 dijkstra 部分确实运行在 (ElogV) 中。

为了理解 Dijkstra 算法的时间复杂度，我们需要研究在用于实现 Frontier 集的数据结构上执行的操作（即用于实现 Frontier 集的数据结构）minv在你的算法中）：

• Insert
• Update
• 查找/删除最小值

有O(|V|)插入物，O(|E|)更新，O(|V|)查找/删除在算法的整个持续时间内数据结构上出现的总数的最小值。

• 最初，Dijkstra 使用未排序的数组实现了 Frontier 集。原来是这样O(1)用于插入和更新，但是O(|V|)对于查找/删除最小值，导致O(|E| + |V|^2)， 但是由于|E| < |V|^2， 你有O(|V|^2).

• 如果使用二进制最小堆来实现 Frontier 集，则有log(|v|)对于所有操作，导致O(|E|log|V| + |V|log|V|)，但由于可以合理地假设|E| > |V|， 你有O(|E|log|V|).

• 然后是斐波那契堆，在这里你有O(1)插入/更新/查找最小的摊销时间，但是O(log|V|)删除最小值的摊销时间，为您提供当前最知名的时间范围O(|E| + |V|log|V|)对于 Dijkstra 算法。

最后，解决单源最短路径问题的算法O(|V|log|V|)最坏情况的时间复杂度是不可能的，如果(|V|log|V| < |E|)，因为问题的时间下限很简单O(|E| + |V|)也就是说，您需要至少检查每个顶点和边一次才能解决问题。