在Python中证明傅里叶变换运算

我有一个时域表达式

f = -1j*H(t) * exp(-(1j*a+b)*t)

可以使用解析傅立叶变换已知属性 (H是亥维赛阶跃函数）。该 FT 运算的结果是

F = (w-a-1j*b)/((w-a)**2+b**2)

where w是频率。

现在我正在使用中的提示本文进行数值傅里叶变换f在Python中，并确认我确实得到了相同的分析结果F:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(-10,10,1e4) # time
w = np.linspace(-10,10,1e4) # frequency

b = 0.1
a = 1

H = lambda x: 1*(x>0) # heaviside function

# function in time
f = -1j*H(t)*np.exp(-(1j*a+b)*t)

# function in frequency (analytical work)
F = (w-a-1j*b)/((w-a)**2+b**2)

hann = np.hanning(len(t))  # hanning window

# function in frequency (numerical work)
F2 = 2/len(t)*np.fft.fft(hann*f)

plt.figure()
plt.plot(w,F.real,'b',label='analytical')
plt.plot(w,F2.real,'b--',label='fft')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Re($F(\omega)$)')
plt.legend(loc='best')

plt.figure()
plt.plot(w,F.imag,'g',label='analytical')
plt.plot(w,F2.imag,'g--',label='fft')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Im($F(\omega)$)')
plt.legend(loc='best')

plt.show()

然而Python的FFT函数似乎给了我一些完全错误的东西。当F and F2被绘制。

Edit:这是情节...

在这些图中并不明显，但如果你放大w=-10 and 10区域存在小幅波动，可能是由于fft算法。

FFT 算法计算 DFT，其原点（空间域和频域）位于第一个样本上。您需要移动信号（在应用汉宁窗之后），以便 t=0 是最左边的样本，并且在计算 FFT 后，您必须进行反向移动。

MATLAB 有ifftshift and fftshift，实现这两个转变。 NumPy 一定有类似的功能。

代码的另一个问题是计算 DFT，并将其绘制在由w您计算的频率，但与计算 DFT 的实际频率无关。

这是您的代码，已转换为 MATLAB，并已修复以正确计算F2 and w*。我希望这有用。需要注意的一件事是你的F不匹配F2，我确信这不是由于错误F2，但是您的计算出现错误F。形状相似，但是F以不同的方式缩放和镜像。

N = 1e3;
t = linspace(-100,100,N); % time
Fs = 1/(t(2)-t(1));
w = Fs * (-floor(N/2):floor((N-1)/2)) / N; % NOTE proper frequencies

b = 0.1;
a = 1;

H = @(x)1*(x>0); % Heaviside function

% function in time
f = -1j*H(t).*exp(-(1j*a+b)*t);

% function in frequency (analytical work)
F = (w-a-1j*b)./((w-a).^2+b.^2);

% hanning window
hann = 0.5*(1-cos(2*pi*linspace(0,1,N)));

% function in frequency (numerical work)
F2 = fftshift(fft(ifftshift(hann.*f))); % NOTE shifting of origin

figure

subplot(2,1,1), hold on
plot(w,real(F),'b-')
plot(w,real(F2),'r-')
xlabel('\omega')
ylabel('Re(F(\omega))')
legend({'analytical','fft'},'Location','best')

subplot(2,1,2), hold on
plot(w,imag(F),'b-')
plot(w,imag(F2),'r-')
xlabel('\omega')
ylabel('Im(F(\omega))')
legend({'analytical','fft'},'Location','best')

<sup>Footnote:
* I also changed the colors, MATLAB's green is too light.</sup>