用于求解线性丢番图方程的算法：ax + by = c

我在这里寻找整数解决方案。我知道它有无数个从第一对解和 gcd(a,b)|c 导出的解。然而，我们怎样才能找到第一对解呢？有什么算法可以解决这个问题吗？

Thanks,
Chan

请注意，并不总是有解决方案。事实上，只有一个解决方案：c是的倍数gcd(a, b).

也就是说，您可以使用扩展欧几里得算法为了这。

这是一个实现它的 C++ 函数，假设c = gcd(a, b)。我更喜欢使用递归算法：

function extended_gcd(a, b)
    if a mod b = 0
        return {0, 1}
    else
        {x, y} := extended_gcd(b, a mod b)
        return {y, x-(y*(a div b))}

int ExtendedGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (a % b == 0)
    {
        x = 0;
        y = 1;
        return b;
    }

    int newx, newy;
    int ret = ExtendedGcd(b, a % b, newx, newy);

    x = newy;
    y = newx - newy * (a / b);
    return ret;
}

现在如果你有c = k*gcd(a, b) with k > 0，方程变为：

ax + by = k*gcd(a, b) (1)
(a / k)x + (b / k)y = gcd(a, b) (2)

因此，只需找到 (2) 的解，或者找到 (1) 的解并乘以x and y by k.