图像处理中常见的滤波器小结

在图像处理、计算机视觉领域，我们有时需要对原始图像进行预处理。图像滤波是一种比较常用的方法，通过滤波操作，就可以突出一些特征或者去除图像中不需要的成分。通过选取不同的滤波器，在原始图像上进行滑动和卷积，借助相邻的像素值就可以决定该像素最后的输出。最常见的算子分为两类，一个是图像平滑去噪功能、一个是边缘检测功能，下文中会对这两类进行展开。

平滑滤波器

1. 高斯滤波

高斯滤波器是一种可以使图像平滑的滤波器，用于去除噪声。

高斯滤波器将中心像素周围的像素按照高斯分布加权平均进行平滑化。这样的二维权值通常被称为卷积核（kernel）或者滤波器（filter）。

但是，由于图像的长宽可能不是滤波器大小的整数倍，同时我们希望输出图像的维度与输入图像一致，因此我们需要在图像的边缘补 0 0 0，具体补几个 0 0 0视滤波器与图像的大小关系确定，这种方法称作Zero Padding。同时，权值 g g g（卷积核）要进行归一化操作（ ∑ g = 1 \sum g = 1 ∑g=1）。

按下面的高斯分布公式计算权值： g ( x , y , σ ) = 1 2 π σ 2   e − x 2 + y 2 2 σ 2 g(x,y,\sigma)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\ e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}} g(x,y,σ)=2πσ21​ e−2σ2x2+y2​

其中 x x x 和 y y y 的坐标是以当前滤波器的中心点为基准。例如中心点右上方各1格的坐标对，是(1，-1)。

标准差 σ = 1.3 \sigma=1.3 σ=1.3的 8 − 8- 8−近邻高斯滤波器近似如下： K = 1 16   [ 1 2 1 2 4 2 1 2 1 ] K=\frac{1}{16}\ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] K=161​ ⎣⎡​121​242​121​⎦⎤​

2. 中值滤波

中值滤波器也是一种可以使图像平滑的滤波器，一定程度上可以去除图像的噪声，同时图像的细节也会变得模糊。这种滤波器是提取出滤波器范围内（在这里假设是 3 × 3 3\times3 3×3）像素点的中值。为了保证输出图像的大小和输入一样，需要采用Zero Padding。

3. 均值滤波

与中值滤波相似，均值滤波也是用于图像降噪的。唯一与中值滤波不同的是，均值滤波对于滤波器范围内的像素点，计算他们的均值作为输出。

边缘检测滤波器

1. Sobel滤波器

Sobel滤波器可以提取特定方向（纵向或横向）的边缘，滤波器按下式定义：

水平Sobel算子： K = [ 1 2 1 0 0 0 − 1 − 2 − 1 ] K=\left[ \begin{matrix} 1&2&1\\ 0&0&0\\ -1&-2&-1 \end{matrix} \right] K=⎣⎡​10−1​20−2​10−1​⎦⎤​ 竖直Sobel算子： K = [ 1 0 − 1 2 0 − 2 1 0 − 1 ] K=\left[ \begin{matrix} 1&0&-1\\2&0&-2\\ 1&0&-1 \end{matrix} \right] K=⎣⎡​121​000​−1−2−1​⎦⎤​

Sobel算子可以近似的计算出图像相邻像素之间的梯度。假设滤波器现在滑动到背景部分，那么滤波器卷积计算得到的值就非常小；反之，如果滤波器在背景和前景分界出，那么滤波器滑过得到的卷积数值就会比较大。因此可以较好的提取出图像的边缘信息。

2. Prewitt滤波器

Prewitt滤波器也是用于边缘检测的一种滤波器，使用下式定义：

水平Prewitt算子： K = [ − 1 − 1 − 1 0 0 0 1 1 1 ] K=\left[ \begin{matrix} -1&-1&-1\\ 0&0&0\\ 1&1&1 \end{matrix} \right] K=⎣⎡​−101​−101​−101​⎦⎤​ 竖直Prewitt算子： K = [ − 1 0 − 1 − 1 0 1 − 1 0 1 ] K=\left[ \begin{matrix} -1&0&-1\\ -1&0&1\\ -1&0&1 \end{matrix} \right] K=⎣⎡​−1−1−1​000​−111​⎦⎤​

Prewitt算子与Sobel算子不同的是，Sobel算子考虑了权值的因素，即在中心点正上方或正下方（正左和正右）的权值为2，因为这个像素点离中心更近，而离中心远一点的斜侧方的权值为1；而Prewitt中没有这种设定。总的来说，Sobel算是对Prewitt的一种改进，效果也自然更好一点。

3. Laplacian滤波器

有别于Sobel算子和Prewitt算子这两类一阶微分滤波器，Laplacian滤波器是对图像亮度进行二次微分从而检测边缘的滤波器。由于数字图像是离散的， x x x方向和 y y y方向的一次微分分别按照以下式子计算： I x ( x , y ) = I ( x + 1 , y ) − I ( x , y ) ( x + 1 ) − x = I ( x + 1 , y ) − I ( x , y )   I_x(x,y)=\frac{I(x+1,y)-I(x,y)}{(x+1)-x}=I(x+1,y)-I(x,y)\ Ix​(x,y)=(x+1)−xI(x+1,y)−I(x,y)​=I(x+1,y)−I(x,y)  I y ( x , y ) = I ( x , y + 1 ) − I ( x , y ) ( y + 1 ) − y = I ( x , y + 1 ) − I ( x , y ) I_y(x,y) =\frac{I(x, y+1) - I(x,y)}{(y+1)-y}= I(x, y+1) - I(x,y) Iy​(x,y)=(y+1)−yI(x,y+1)−I(x,y)​=I(x,y+1)−I(x,y) 所以二次微分按照以下式子计算： I x x ( x , y )   = I x ( x , y ) − I x ( x − 1 , y ) ( x + 1 ) − x = I x ( x , y ) − I x ( x − 1 , y ) = [ I ( x + 1 , y ) − I ( x , y ) ] − [ I ( x , y ) − I ( x − 1 , y ) ] = I ( x + 1 , y ) − 2   I ( x , y ) + I ( x − 1 , y ) I_{xx}(x,y) \ =\frac{I_x(x,y) - I_x(x-1,y)}{(x+1)-x}=I_x(x,y) - I_x(x-1,y)=[I(x+1, y) - I(x,y)] - [I(x, y) - I(x-1,y)] =I(x+1,y) - 2\ I(x,y) + I(x-1,y) Ixx​(x,y) =(x+1)−xIx​(x,y)−Ix​(x−1,y)​=Ix​(x,y)−Ix​(x−1,y)=[I(x+1,y)−I(x,y)]−[I(x,y)−I(x−1,y)]=I(x+1,y)−2 I(x,y)+I(x−1,y) 同理： I y y ( x , y ) = I ( x , y + 1 ) − 2   I ( x , y ) + I ( x , y − 1 ) I_{yy}(x,y)=I(x,y+1)-2\ I(x,y)+I(x,y-1) Iyy​(x,y)=I(x,y+1)−2 I(x,y)+I(x,y−1) 因此，Laplacian 表达式如下： ∇ 2   I ( x , y )   = I x x ( x , y ) + I y y ( x , y )   = I ( x − 1 , y ) + I ( x , y − 1 ) − 4 ∗ I ( x , y ) + I ( x + 1 , y ) + I ( x , y + 1 ) \nabla^2\ I(x,y)\ =I_{xx}(x,y)+I_{yy}(x,y)\ =I(x-1,y) + I(x,y-1) - 4 * I(x,y) + I(x+1,y) + I(x,y+1) ∇2 I(x,y) =Ixx​(x,y)+Iyy​(x,y) =I(x−1,y)+I(x,y−1)−4∗I(x,y)+I(x+1,y)+I(x,y+1) 把这个式子表示为卷积核是下面这样的： K = [ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 ] K= \left[ \begin{matrix} 0&1&0\\ 1&-4&1\\ 0&1&0 \end{matrix} \right] K=⎣⎡​010​1−41​010​⎦⎤​

参考：https://github.com/gzr2017/ImageProcessing100Wen