我正在尝试对一系列可能不是正态分布的分布生成基于 KDE 的 PDF 估计。
我喜欢 R 中 ggplot 的 stat_密度 似乎可以识别频率中的每个增量波动，但无法通过 Python 的 scipy-stats-gaussian_kde 方法复制它，该方法似乎过于平滑。
我的 R 代码设置如下：
ggplot(test, aes(x=Val, color = as.factor(Class), group=as.factor(Class))) +
stat_density(geom='line',kernel='gaussian',bw='nrd0'
#nrd0='Silverman'
,size=1,position='identity')
我的Python代码是：
kde = stats.gaussian_kde(data.ravel())
kde.set_bandwidth(bw_method='silverman')
统计文档显示herenrd0 是用于 bw 调整的 silverman 方法。
基于上面的代码，我使用相同的内核（高斯）和带宽方法（Silverman）。
谁能解释为什么结果如此不同？
对于什么是西尔弗曼规则似乎存在分歧。 TL;DR - scipy 使用了更糟糕的规则版本，该规则仅适用于正态分布的单峰数据。 R 使用更好的版本，“两全其美”并且“适用于广泛的密度”。
The scipy 文档说西尔弗曼规则是实施为:
def silverman_factor(self):
return power(self.neff*(self.d+2.0)/4.0, -1./(self.d+4))
Where d是维数（1，在你的情况下）和neff是有效样本量（点数，假设没有权重）。所以 scipy 带宽是(n * 3 / 4) ^ (-1 / 5)（乘以标准差，以不同的方法计算）。
相比之下，Rstats包文档将 Silverman 的方法描述为“标准差和四分位数最小值的 0.9 倍除以样本量的 1.34 倍的负五次方”，也可以在 R 代码中进行验证，输入bw.nrd0在控制台中给出：
function (x)
{
if (length(x) < 2L)
stop("need at least 2 data points")
hi <- sd(x)
if (!(lo <- min(hi, IQR(x)/1.34)))
(lo <- hi) || (lo <- abs(x[1L])) || (lo <- 1)
0.9 * lo * length(x)^(-0.2)
}
维基百科另一方面，将“西尔弗曼经验法则”作为估计器的许多可能名称之一：
1.06 * sigma * n ^ (-1 / 5)
wikipedia 版本相当于 scipy 版本。
所有三个来源（scipy 文档、维基百科和 R 文档）都引用了相同的原始参考文献：Silverman、B.W. （1986）。用于统计和数据分析的密度估计。伦敦：Chapman & Hall/CRC。 p。 48.ISBN 978-0-412-24620-3。维基百科和 R 特别引用了第 48 页，而 scipy 的文档没有提及页码。 （我已向维基百科提交了编辑，将其页面引用更新为第 45 页，见下文。）
阅读 Silverman 论文第 45 页，维基百科文章中使用的是方程 3.28：(4 / 3) ^ (1 / 5) * sigma * n ^ (-1 / 5) ~= 1.06 * sigma * n ^ (-1 / 5)。 scipy使用同样的方法，重写(4 / 3) ^ (1 / 5)作为等价的(3 / 4) ^ (-1 / 5)。西尔弗曼描述了这种方法：
虽然（3.28）在总体确实是正态分布的情况下会很好地工作，但如果总体是多峰的，它可能会有些过度平滑......随着混合物变得更加强烈的双峰，相对于最佳选择，公式（3.28）将变得越来越过度平滑的平滑参数。
scipy 文档参考这个弱点，指出：
它包括自动带宽确定。该估计最适合单峰分布；双峰或多峰分布往往会过度平滑。
然而，Silverman 的文章继续改进了 scipy 使用的方法，以达到 R 和 Stata 使用的方法。在第 48 页，我们得到方程 3.31：
h = 0.9 * A * n ^ (-1 / 5)
# A defined on previous page, eqn 3.30
A = min(standard deviation, interquartile range / 1.34)
西尔弗曼将此方法描述为：
两全其美...总之，平滑参数的选择 ([eqn] 3.31) 对于各种密度都效果很好，并且评估起来很简单。对于许多用途来说，它肯定是窗口宽度的适当选择，而对于其他用途来说，这将是后续微调的良好起点。
因此，维基百科和 Scipy 似乎使用了 Silverman 提出的估计器的简单版本，但存在已知的弱点。 R和Stata使用更好的版本。