蓝桥杯刷题007——七段码

七段码 

七段码2020年第十一届蓝桥杯省赛，填空题，lanqiao0J题号595

【问题描述】

        七段数码管，一共有7个发光二极管，问能表示多少种不同的字符，要求发光的二极管是相连的。

 七段数码管，一共有7个管，所以总共有种情况。

【解题思路】

【手算】 

        因为图形简单，出现的情况并不多，直接手算也行，约5~10分钟。用字符表示数码管不太方便，改用数字: a ~ g分别用1~7表示。统计亮1,2,3,4,5,6,7个灯分别有多少种情况。

【编码】  

这道题需要用到“联通矩阵”+“DFS(深度优先搜索)” 。

首先介绍一下联通矩阵 ，以上图为例，a只与b，f连通，所以a行的b，f列为1，其余列为0。b与a，c，g连通，所以b行的a，c，g列为1，其余列为0。以此类推，可以得到如下的矩阵。

然后深度优先搜索 （DFS）大家可以参考一下这篇文章：DFS初入门(深度优先搜索)(Python)

•  七个灯总共有种方案。 所以循环127次，对每次循环进行判断即可。
• 第i个方案用choose来选择点亮的灯：将 i 转换成二进制的choose，1代表亮，0代表不亮。
•  因为是灯是连通的所以从任意一点都可以走到其他点 ，所以找该方案第一个亮的灯，让它去做一个深度优先搜索就可以了。
• 深度优先搜索：从第一个亮的灯沿着选择的和可到达的（连通且未到达）点走一圈。
• 对深度优先搜索结果进行判断，排除方案选择了但走一圈却到不了的情况，留下方案选择了且走到了的情况。统计这种情况数得到答案。

【题解】 

【手算】 

这些组合中的连续亮灯，分7种情况统计:

• 亮一个灯:1、2、3、4、5、6、7，共7种
• 亮两个灯:12、13、24、25、34、36、45、46、57、67，共10种
• 亮三个灯:123、124、125、134、136、234、245、246、257、345、346、367、456、457、467、567，共16种
• 亮四个灯，这时不要直接数四个灯，情况与灭三个灯是等价的，数三个灯比数四个灯简单。注意灭三个灯后其他的四个亮灯是连续的:灭123、124、125、126、127、134、135、136、137、157、167、245、257、267、346、357、367、457、467、567，共20种
• 亮五个灯:数灭两个灯的情况:灭12、灭13、灭14、...等，共19种
• 亮六个灯:数灭一个灯的情况，有7种
• 亮七个灯:有1种。
• 对以上所有情况求和，答案是80。、

【编码】

Edge = [              # 七段码的连通矩阵
    [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
    [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1],
    [0, 1, 0, 1, 0, 0, 1],
    [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1, 0, 1, 1],
    [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
    [0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]]


def dfs(k):
    for i in range(7):
        if Edge[k][i] and choose[i] and not visited[i]:  # 连通+亮+没访问过
            visited[i] = 1                               # 访问了，标记为已访问
            dfs(i)                                       # 在走过的点继续走下一个


ans = 0
for i in range(1, 128):  # 2^7-1=127种方案
    choose = [0 for _ in range(7)]  # 选择那些灯灯亮或者不亮
    visited = [0 for _ in range(7)]

    # 十进制(第i个方案)--》二进制choose
    x = i
    j = 0
    while x:
        if x % 2:
            choose[j] = 1
        x //= 2
        j += 1
    k = 0

    # 找该方案第一个亮的灯（因为是连通的所以从任意一点都可以走到其他点）
    while not choose[k]:               
        k += 1
    visited[k] = 1                      # 访问了，标记为已访问

    dfs(k)


    flag = True
    for j in range(7):
        if choose[j] and not visited[j]:# 方案选择了，但走一圈却到不了
            flag = False                # 这个情况不满足
            break
    if flag:                            # 方案选择了却走到了
        ans += 1
print(ans)    # 80