微分几何 Class 1 向量空间

微分几何

作为一名大三下的数学专业学生，我本学期将实时将我所感兴趣的一门课微分几何笔记以及一些总结同步到我的博客上，以便进行学习总结与自我督促。

参考书

• 《微分几何》苏步青，胡和生（2016）
• 《微分几何》陈维桓
• 《Differential Geometry of Curves and Surfaces》M.do.Carmo(1996)
• 《A comprehensive Introduction to Differential Geometry》vol 2,3(1999)

0.绪论

• 课程目标：
  1.证明定理（Gauss-Bonnet公式）
  设 D D D是曲面 S S S上一块单连通区域，
  ∂ D \partial D ∂D是分段光滑闭曲线，
  设 α i \alpha_i αi​为 ∂ D \partial D ∂D的顶点的外角。
  则：
  ∬ D K d A + ∫ ∂ D k g d s + ∑ α i = 2 π \iint_D K dA+\int_{\partial D}k_gds+\sum\alpha_i=2\pi ∬D​KdA+∫∂D​kg​ds+∑αi​=2π
  其中 K K K为Gauss曲率， d A dA dA为面积元， k g k_g kg​为测地曲率， d s ds ds中 s s s为弧长参数。
  推论
  设 D D D是曲面 S S S上一块单连通区域，
  ∂ D \partial D ∂D是分段光滑测地线围成的闭曲线，
  设 α i \alpha_i αi​为 ∂ D \partial D ∂D的顶点的外角。
  则：
  ∬ D K d A + ∑ α i = 2 π \iint_D K dA+\sum\alpha_i=2\pi ∬D​KdA+∑αi​=2π
  推论
  若 D D D是曲面 S S S上的测地三角形，
  记 β i \beta_i βi​为顶点的内角（ α i + β i = π \alpha_i+\beta_i=\pi αi​+βi​=π）
  则：
  β 1 + β 2 + β 3 = π + ∬ D K d A \beta_1+\beta_2+\beta_3=\pi+\iint_DKdA β1​+β2​+β3​=π+∬D​KdA
  推论
  如果曲面 S S S是常曲率曲面，则：
  β 1 + β 2 + β 3 = π + K ⋅ A r e a ( D ) \beta_1+\beta_2+\beta_3=\pi+K\cdot Area(D) β1​+β2​+β3​=π+K⋅Area(D)
  其中 A r e a ( D ) Area(D) Area(D)为 D D D的面积。
  
  当S为球面时, K > 0 K>0 K>0;
  β 1 + β 2 + β 3 > π \beta_1+\beta_2+\beta_3>\pi β1​+β2​+β3​>π
  当S为平面时, K = 0 K=0 K=0;
  β 1 + β 2 + β 3 = π \beta_1+\beta_2+\beta_3=\pi β1​+β2​+β3​=π
  当S为伪球面时, K < 0 K<0 K<0（Q：伪球面是由什么线旋转而成的？）
  β 1 + β 2 + β 3 < π \beta_1+\beta_2+\beta_3<\pi β1​+β2​+β3​<π
  2.证明定理（整体Gauss-Bonnet公式）
  设 D D D是定向曲面 S S S上一块单连通区域，
  ∂ D \partial D ∂D是分段光滑闭曲线，
  设 α i \alpha_i αi​为 ∂ D \partial D ∂D的顶点的外角。
  则：
  ∬ D K d A + ∫ ∂ D k g d s + ∑ α i = 2 π χ ( D ) \iint_D K dA+\int_{\partial D}k_gds+\sum\alpha_i=2\pi \chi(D) ∬D​KdA+∫∂D​kg​ds+∑αi​=2πχ(D)
  其中 χ ( D ) \chi(D) χ(D)为D的欧拉示性数(开个坑)。
  推论
  设 S S S为 R 3 R^3 R3中的紧致曲面，则：
  ∬ D K d A = 2 π χ ( D ) \iint_D K dA=2\pi \chi(D) ∬D​KdA=2πχ(D)
  推论
  如果紧致曲面 S S S的 G a u s s Gauss Gauss曲率 K ≥ 0 K\ge0 K≥0，则：
  ∬ D K d A = 4 π \iint_D K dA=4\pi ∬D​KdA=4π

第一章 欧氏空间

1.1 向量空间

重点：

• 区分n维向量空间和n维欧氏向量空间的区别
• 向量空间的定义与八条算律
• 内积的定义与要求
• n维欧氏向量空间和 R n R^n Rn的关系
• 了解Einsetin求和约定

1.欧氏向量空间和向量空间的区别
从广义上来讲，欧氏向量空间是定义了内积的向量空间，所以欧氏空间具备向量空间的所有性质。
但是由于欧氏向量空间中引入了向量内积，所以又不同于一般向量空间。

我还找到一个文章从基础域、基、运算、向量坐标、过渡矩阵、线性变换、子空间这些角度分析了二者的区别。
向量空间与欧氏空间的对比讨论

2.向量空间的定义和八条算律
P是一个域,V是一个集合。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1. 加法交换率：α+β=β+α，对任意α，β∈V.
2. 加法结合律：α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.
3. V中0元存在性： 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.
4. V中逆元存在性：对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.
5. P中幺元在数乘中的运算：对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
6. 数乘结合律：对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7. 数乘分配率1：对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
8. 数乘分配率2：对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。

3.内积的定义与要求
设V是实数域R上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数（本体），称为内积，记作 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β)，具有以下性质：

1. 对称性： ( α , β ) = ( β , α ) (\alpha,\beta)=(\beta,\alpha) (α,β)=(β,α)
2. 线性性： ( k α , β ) = k ( α , β ) (k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta) (kα,β)=k(α,β)
3. 加性： ( α + β , γ ) = ( α , γ ) + ( β , γ ) (\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma) (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)
4. 非负性： ( α , α ) ≥ 0 (\alpha,\alpha)\ge 0 (α,α)≥0，当且仅当 α = 0 \alpha=0 α=0时 ( α , α ) = 0 (\alpha,\alpha)=0 (α,α)=0

这里 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ为V中任意的向量，k是任意实数，这样的定义了上述双线性函数的线性空间V称为欧几里得空间

注意：在复数域情况下
\quad 1.对称性变为共轭对称。

4.n维欧氏向量空间和 R n R^n Rn的关系
任何一个n维欧氏向量空间都与R^n同构。
（向量空间的同构：对于两个线性空间 P P P和 Q Q Q，存在线性双射 F F F。将P中元素映射到Q上，则称 P P P和 Q Q Q同构）

除去向量空间的同构，同构还存在于群之间，环之间，域之间，矩阵之间。这块我会单独再开一个坑。

5.Einsetin约定求和

所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号。在此规则中两个相同指标就表示求和，

（1）.哑指标
具体约定如下:

1. 在同一项中，如果同一指标成对出现，就表示遍历其取值范围求和。这时求和符号可以省略。并称该求和指标为哑指标

2. 上述成对出现的指标叫做哑指标，简称哑标。表示哑标的小写字母可以用另一对小写字母替换，只要其取值范围不变。

3. 当两个求和式相乘时，两个求和式的哑标不能使用相同的小写字母。为了避免混乱，常用的办法是根据上一条规则，先将其中一个求和式的哑标改换成其它小写字母。

举个栗子：

1. S = ∑ i = 1 n a i x i S=\sum_{i=1}^na_ix_i S=∑i=1n​ai​xi​
   约定： S = a i x i S=a_ix_i S=ai​xi​
   其中i即为哑指标。
2. K = ∑ i = 1 n 1 ∑ j = 1 n 2 A i j x i y j K=\sum_{i=1}^{n1}\sum_{j=1}^{n2}A_{ij}x_iy_j K=∑i=1n1​∑j=1n2​Aij​xi​yj​
   约定： K = A i j x i y j K=A_{ij}x_iy_j K=Aij​xi​yj​
   其中 i , j i,j i,j都为哑指标。

（2）.自由指标
只出现一次的变元进行求和，该指标称为自由指标。
比如 b i = A i j x j b_i=A_{ij}x_j bi​=Aij​xj​
i i i即为自由指标， j j j为哑指标。

除此之外，还有Kronecker-delta符号和置换符号(Ricci符号)、向量内积、向量外积的表示方法。
现找到参考网站：
参考网站1
参考网站2

在其中还涉及到了共变和反变等概念，待我日后填坑（hhh）。