将 while 循环转化为数学方程？

我的程序中有两个简单的 while 循环，我认为它们应该是数学方程，但我正在努力转换它们：

float a = someValue;
int b = someOtherValue;
int c = 0;

while (a <= -b / 2) {
    c--;
    a += b;
}
while (a >= b / 2) {
    c++;
    a -= b;
}

这段代码按原样工作，但我觉得它可以简化为数学方程。这里的想法是，此代码采用偏移量 (someValue) 并调整坐标 (c)，以最小化与图块（大小为 someOtherValue）中心的距离。任何帮助，将不胜感激。

可以证明以下说法是正确的：

c = floor((a+b/2)/b)
a = a - c*b

请注意，floor 表示向下舍入，朝向负无穷大：而不是朝向 0。（例如，floor(-3.1)=-4。floor()库函数将执行此操作；请确保不要只转换为 int，它通常会向 0 舍入。）

想必b严格为正，因为否则两个循环都不会终止：添加b不会使a更大和减去b不会使a较小。有了这个假设，我们就可以证明上面的代码是有效的。 （paranoidgeek 的代码也几乎是正确的，除了它使用强制转换为 int 而不是floor.)

巧妙的证明方法： 该代码添加或减去的倍数b from a until a is in [-b/2,b/2)，您可以将其视为加法或减法integers from a/b until a/b is in [-1/2,1/2)，即直到(a/b+1/2)（叫它x) is in [0,1)。由于您仅按整数更改它，因此值x没有改变mod 1，即它转到它的余数模 1，即x-floor(x)。因此，您进行的有效减法次数（即c) is floor(x).

乏味的证明方式:

_{At the end of the first loop, the value of c is the negative of the number of times the loop runs, i.e.:}

• 0 如果：a > -b/2 a+b/2 > 0
• -1 如果：-b/2 ≥ a > -3b/2 0 ≥ a+b/2 > -b 0 ≥ x > -1
• -2 如果：-3b/2≥a > -5b/2 -b ≥ a+b/2 > -2b -1 ≥ x > -2 等等，

where x = (a+b/2)/b，所以 c 为： 0（如果 x>0），否则为“ceiling(x)-1”。如果第一个循环运行了，那么它在第一个循环之前≤ -b/2上次循环已执行，因此现在 ≤ -b/2+b，即 ≤ b/2。根据是否恰好是 b/2（即，是否x当你开始时是否恰好是一个非正整数），第二个循环恰好运行 1 次或 0 次，并且 c 是天花板（x）或天花板（x）-1。这样就解决了第一个循环运行时的情况。

如果第一个循环没有运行，则第二个循环结束时 c 的值为：

• 0 如果：a a-b/2
• 1 如果：b/2 ≤ a 0 ≤ a-b/2 0 ≤ y
• 2 如果：3b/2 ≤ a b ≤ a-b/2 1 ≤ y

where y = (a-b/2)/b，所以 c 为：如果 ya现在肯定是

所以你可以写一个表达式c as:

x = (a+b/2)/b
y = (a-b/2)/b
c = (x≤0)*(ceiling(x) - 1 + (x is integer))
   +(y≥0)*(1 + floor(y))                

当然，接下来你会注意到(ceiling(x)-1+(x is integer))与floor(x+1)-1这是floor(x)， 然后y实际上是x-1, so (1+floor(y))=floor(x)，至于条件：
当x≤0时，不可能有(y≥0)，所以c只是第一项floor(x),
当 0 c is 0,
当 1 ≤ x 时，只有 0≤y，所以 c 只是第二项，即floor(x)再次。 所以c =floor(x)在所有情况下。