理解“生成高斯随机测量矩阵”段代码；奇异值分解（SVD）的理解

#生成高斯随机测量矩阵
sampleRate=0.7  #采样率
Phi=np.random.randn(256,256)
u, s, vh = np.linalg.svd(Phi)
Phi = u[:256*sampleRate,] #将测量矩阵正交化

这段代码让我产生了如下疑问：

1.采样率的作用是什么？怎么使用的？

2.为何奇异值分解的各参数服从高斯分布？

（到了最后也没有解决，不过我也不关心这个问题了）

3.奇异值分解出的s为何没有在重建过程中使用？

# s对角阵；奇异值分解——非非方阵求特征向量；u[M,M]、s(因只有对角线元素，是一维向量)、vh[N,N]

Phi=np.random.randn(256,256)
u, s, vh = np.linalg.svd(Phi)
Phi = orth(u)# #将测量矩阵正交化

因为不理解求测量矩阵求的好好的，为什么不直接对生成的高斯矩阵Phi正交化，而要对奇异值分解后的u正交化，所以，

首先验证了一下分解之后是否也符合正态分布（0,1/256）

1、np.mean(Phi) = -0.00017111176740819786
      np.var(Phi) = 0.0039062207207630545

2、np.mean(u) = 0.0001780504308824002
      np.var(u) = 0.003906218298044062

3、np.mean(vh) = -7.129320284399146e-05
      np.var(vh) = 0.003906244917279228

# 1/256 = 0.00390625

结果很有意思 ==> 分解出的u, vh均符合正太分布（意思就是说，可以用作高斯测量矩阵）

略微怀疑了一下 u ?= v-1   验证了一下，明显不是

>>> #a1=np.mat(u)
>>> a1.I  #u的逆
matrix([[-4.55884095e-02,  5.01492239e-02, -5.37609946e-02, ...,
          7.25312963e-05, -7.17153014e-02,  8.61231127e-02],
        [ 3.14760438e-02,  8.56614350e-03,  1.23950561e-01, ...,
         -2.85124678e-02,  5.13144366e-02, -5.08340339e-03],
        [ 7.18833262e-03, -5.02030288e-02, -1.48515675e-03, ...,
         -4.26118590e-02, -8.96434310e-02, -6.31311900e-02],
        ...,
        [ 5.24490210e-02,  7.30977342e-02, -1.57502857e-02, ...,
         -4.77213973e-02,  1.38245059e-02, -2.21201867e-02],
        [-8.48229098e-03,  6.69047256e-03, -4.33598024e-02, ...,
         -2.53218586e-02,  7.85389472e-02,  9.52016682e-02],
        [ 6.90270319e-02,  4.69091488e-02, -1.73791108e-02, ...,
          1.36255683e-01,  4.55514037e-02,  1.37026750e-02]])
>>> a1  #u
matrix([[-4.55884095e-02,  3.14760438e-02,  7.18833262e-03, ...,
          5.24490210e-02, -8.48229098e-03,  6.90270319e-02],
        [ 5.01492239e-02,  8.56614350e-03, -5.02030288e-02, ...,
          7.30977342e-02,  6.69047256e-03,  4.69091488e-02],
        [-5.37609946e-02,  1.23950561e-01, -1.48515675e-03, ...,
         -1.57502857e-02, -4.33598024e-02, -1.73791108e-02],
        ...,
        [ 7.25312963e-05, -2.85124678e-02, -4.26118590e-02, ...,
         -4.77213973e-02, -2.53218586e-02,  1.36255683e-01],
        [-7.17153014e-02,  5.13144366e-02, -8.96434310e-02, ...,
          1.38245059e-02,  7.85389472e-02,  4.55514037e-02],
        [ 8.61231127e-02, -5.08340339e-03, -6.31311900e-02, ...,
         -2.21201867e-02,  9.52016682e-02,  1.37026750e-02]])

再看了看奇异值分解（SVD）的概念

（1）特征值

Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值

假如说矩阵是下面的样子：

    它所描述的变换是下面的样子：

总结：特征值分解可以得到特征值与特征向量

特征值表示的是这个特征到底有多重要；特征向量表示这个特征是什么

可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。

（2）奇异值

SVD将数据分解成三个矩阵U，S，VT，这里得到的S是一个对角阵，其中对角元素为奇异值，它代表着矩阵的重要特征，从左上角到右下角重要程度递减。因为奇异值往往对应着矩阵中隐含的重要信息，而且奇异值大小与重要性正相关。

优点：简化数据，优化数据的表达形式。 

缺点：难于计算。

特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的

奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：

在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了

到这里我认为，

奇异值分解对于所需理解代码的作用是——保证方形矩阵（图片可能是长方形）

奇异值分解最精华的部分就是中间的s（Σ）——这是本文压根就没有用到的地方Σ( ° △ °|||)︴

==> 综上，在目前的系统中，其实对于我们的lena小姐，用不用svd都不太有所谓，

        （除非后面想再减低一下存储空间）