在上一篇文章《C++实现一维离散傅里叶变换》中，我们介绍了一维信号傅立叶变换的公式和C++实现，并阐述了频域幅值的意义。
一维傅立叶变换只适用于一维信号，例如音频数据、心脑电图等。
在图像处理中，图像信号具有高度和宽度两个属性，属于二维空间信号。将图像信号从空间域转换到频域时，需使用二维离散傅立叶变换。因此，需要将傅立叶变换从一维推广至二维。
二维连续傅立叶变换公式如下：
经过离散化后，上述公式变为：
，其中u=0,1,2,…,M-1，v=0,1,2,…,N-1。 (式1-1)
相应地，其逆变换为：
对式1-1稍作变换，可得：
其中，刚好是一维傅立叶变换的离散形式。故二维傅立叶变换可理解为先对图像的每一行进行一维傅立叶变换，变换的结果构成一个新的矩阵，再对新矩阵的每一列进行一维傅立叶变换，这样经过两次变换的结果就是二维傅立叶变换的最终结果。
也就是说，二维傅里叶变换相当于先按行变换，再按列变换（也可以先按列变换，再按行变换）。最终生成的频域数据，就是由两个方向的频率强度信息叠加而成。
我们可以用伪代码来实现上述逻辑。假设一维傅里叶变换函数为dft1(vec)，二维信号高度为h，宽度为w，那么伪代码可写成如下形式：
for (int i=0; i<h; i++)
dft1(row[i]);
for (int i=0; i<w; i++)
dft1(column[i]);
在本文中，我们暂不采用上述伪代码思路。我们直接按式1-1来进行编程实现：
其中，e-i2π(ux/M+vy/N)可转化为三角函数cos(-2π(ux/M+vy/N))+isin(-2π(ux/M+vy/N))，i为虚数单位。转化成三角函数形式，有利于计算机编程实现。只需要采用两个for循环，就可求出单个F(u,v)值，外面再嵌套两个for循环，即可求出所有F(u,v)值。
故得到有利于编程实现的离散傅里叶变换公式如下：
由于涉及复数运算，需要先定义一个复数类，并实现复数运算。
在上一篇文章《C++实现一维离散傅里叶变换》中，我们已经实现了一个复数类ComplexNumber。直接引用它即可。
（注：编译环境是VS2013，使用MFC对话框模板）
二维离散傅里叶变换的头文件如下：
Dft2.h
#pragma once
#include "ComplexNumber.h"
#define MAX_MATRIX_SIZE 4194304 // 2048 * 2048
#define PI 3.141592653
class CDft2
{
public:
CDft2(void);
~CDft2(void);
public:
bool dft2(double IN const matrix[], int IN const width, int IN const height); // 二维离散傅里叶变换
bool idft2(LPVOID OUT *pMatrix, int OUT *width, int OUT *height); // 二维离散傅里叶逆变换
void generate_spectrum(); // 对变换结果求模，生成频谱/幅度谱
void normalize_spectrum(); // 对频谱进行归一化操作
bool has_dft2_matrix(); // 是否已存有变换结果
bool is_shifted_to_center(); // 是否已将频谱原点平移到图像中心
void clear_dft2_matrix(); // 清除已有的变换结果
void print_matrix(); // 打印变换结果
void print_spectrum(); // 打印频谱
void shift_spectrum_to_center(); // 将频谱原点平移到图像中心
public:
CComplexNumber *m_dft2_matrix;
double *m_spectrum_data;
protected:
bool m_has_dft_matrix;
bool m_is_normalized;
bool m_is_spectrum_shifted;
int m_dft_matrix_height;
int m_dft_matrix_width;
};
由于二维傅里叶变换后得到的矩阵元素数值很大，并且包含实数和虚数。为便于观察分析，需要将变换后的结果进行求模，然后归一化到[0,255]，以便保存为频谱图。归一化后，大部分像素灰度较低，在频谱图上接近黑色，肉眼不容易察觉，因此还需要使用log函数对低灰度区域进行增强。另外，由于傅里叶变换本身具有对称性，最终生成的频谱图的四个角也具有对称性，因此，一般在完成归一化后，还有一个把频谱原点平移到频谱图中心的操作。在类CDft2的声明中，对应的求模、归一化和中心平移函数分别为generate_spectrum()、normalize_spectrum()和shift_spectrum_to_center()。
实现文件如下：
Dft2.cpp
#include "StdAfx.h"
#include "Dft2.h"
CDft2::CDft2(void)
{
m_dft2_matrix = NULL;
m_spectrum_data = NULL;
m_has_dft_matrix = false;
m_is_normalized = false;
m_is_spectrum_shifted = false;
m_dft_matrix_height = 0;
m_dft_matrix_width = 0;
}
CDft2::~CDft2(void)
{
if (m_has_dft_matrix && (NULL != m_dft2_matrix) && ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width)>0))
delete[] m_dft2_matrix;
if (NULL != m_spectrum_data)
delete[] m_spectrum_data;
}
bool CDft2::has_dft2_matrix()
{
return m_has_dft_matrix;
}
bool CDft2::is_shifted_to_center()
{
return m_is_spectrum_shifted;
}
void CDft2::clear_dft2_matrix()
{
if (m_has_dft_matrix && (NULL != m_dft2_matrix) && ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width)>0)) {
delete[] m_dft2_matrix;
m_has_dft_matrix = false;
m_dft_matrix_height = 0;
m_dft_matrix_width = 0;
}
}
void CDft2::print_matrix()
{
char msg[2560] = "11111 ";
if ((!m_has_dft_matrix) || (NULL == m_dft2_matrix) || (m_dft_matrix_height <= 0) || (m_dft_matrix_width <= 0))
return;
for (int u = 0; u<m_dft_matrix_height; u++) {
for (int v = 0; v<m_dft_matrix_width; v++) {
sprintf(msg + 6, "[%d,%d]: %lf + %lfi", u + 1, v + 1, m_dft2_matrix[v + u*m_dft_matrix_width].m_rl, m_dft2_matrix[v + u*m_dft_matrix_width].m_im);
OutputDebugStringA(msg);
}
}
}
void CDft2::print_spectrum()
{
char msg[256] = "11111 ";
if ((!m_has_dft_matrix) || (NULL == m_dft2_matrix) || (m_dft_matrix_height <= 0) || (m_dft_matrix_width <= 0) || (NULL == m_spectrum_data))
return;
for (int u = 0; u<m_dft_matrix_height; u++) {
for (int v = 0; v<m_dft_matrix_width; v++) {
sprintf(msg + 6, "[%d,%d]: %lf", u + 1, v + 1, m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width]);
OutputDebugStringA(msg);
}
}
}
// Fourier transform of 2-dimension matrix
// Param1: the input matrix to be transformed
// Param 2: width of the input matrix
// Param 3: height of the input matrix
bool CDft2::dft2(double IN const matrix[], int IN const width, int IN const height)
{
if (((width*height) <= 0) || ((width*height)>MAX_MATRIX_SIZE) || (NULL == matrix))
return false;
// to avoid memory leak, make sure to clear existing data buff before executing the transformation
clear_dft2_matrix();
m_dft2_matrix = new CComplexNumber[width*height];
CComplexNumber cplTemp(0, 0);
double fixed_factor_for_axisX = (-2 * PI) / height; // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
double fixed_factor_for_axisY = (-2 * PI) / width; // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
for (int u = 0; u<height; u++) {
for (int v = 0; v<width; v++) {
for (int x = 0; x<height; x++) {
for (int y = 0; y<width; y++) {
double powerX = u * x * fixed_factor_for_axisX; // evaluate -i2πux/N
double powerY = v * y * fixed_factor_for_axisY; // evaluate -i2πux/N
cplTemp.m_rl = matrix[y + x*width] * cos(powerX + powerY); // evaluate f(x) * e^(-i2πux/N), which is equal to f(x) * (cos(-i2πux/N)+sin(-i2πux/N)i) according to Euler's formula
cplTemp.m_im = matrix[y + x*width] * sin(powerX + powerY);
m_dft2_matrix[v + u*width] = m_dft2_matrix[v + u*width] + cplTemp;
}
}
}
}
// now we have the transformed vector, keep the info
m_has_dft_matrix = true;
m_dft_matrix_height = height;
m_dft_matrix_width = width;
return true;
}
// Fourier transform of 2-dimension matrix
// Param1: the input matrix to be transformed
// Param 2: width of the input matrix
// Param 3: height of the input matrix
bool CDft2::idft2(LPVOID OUT *pMatrix, int OUT *width, int OUT *height)
{
char msg[256] = "11111 ";
if ((!m_has_dft_matrix) || (NULL == m_dft2_matrix) || ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width) <= 0) || (!width) || (!height))
return false;
if (*pMatrix)
delete[] * pMatrix;
*pMatrix = (LPVOID)new double[m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width];
CComplexNumber cplTemp(0, 0);
CComplexNumber cplResult(0, 0);
double fixed_factor_for_axisX = (2 * PI) / m_dft_matrix_height; // evaluate i2π/N of i2πux/N, and store the value for computing efficiency
double fixed_factor_for_axisY = (2 * PI) / m_dft_matrix_width; // evaluate i2π/N of i2πux/N, and store the value for computing efficiency
for (int x = 0; x<m_dft_matrix_height; x++) {
for (int y = 0; y<m_dft_matrix_width; y++) {
for (int u = 0; u<m_dft_matrix_height; u++) {
for (int v = 0; v<m_dft_matrix_width; v++) {
double powerU = u * x * fixed_factor_for_axisX; // evaluate i2πux/N
double powerV = v * y * fixed_factor_for_axisY; // evaluate i2πux/N
cplTemp.SetValue(cos(powerU + powerV), sin(powerU + powerV));
cplResult = cplResult + m_dft2_matrix[v + u*m_dft_matrix_width] * cplTemp;
}
}
((double*)*pMatrix)[y + x*m_dft_matrix_width] = cplResult.m_rl / (m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width);
cplResult.SetValue(0, 0);
}
}
// now we have the inverse transformed matrix, keep the info
sprintf(msg + 6, "inverse fourier result: %lX", pMatrix);
OutputDebugStringA(msg);
*width = m_dft_matrix_width;
*height = m_dft_matrix_height;
return true;
}
void CDft2::generate_spectrum()
{
if (m_has_dft_matrix && (NULL != m_dft2_matrix) && ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width)>0)) {
if (NULL != m_spectrum_data) {
delete[] m_spectrum_data;
m_is_spectrum_shifted = false;
}
m_spectrum_data = new double[m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width];
for (int u = 0; u<m_dft_matrix_height; u++) {
for (int v = 0; v<m_dft_matrix_width; v++) {
double a = m_dft2_matrix[v + u*m_dft_matrix_width].m_rl * m_dft2_matrix[v + u*m_dft_matrix_width].m_rl;
double b = m_dft2_matrix[v + u*m_dft_matrix_width].m_im * m_dft2_matrix[v + u*m_dft_matrix_width].m_im;
m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] = sqrt(a + b);
}
}
}
}
void CDft2::normalize_spectrum()
{
char msg[256] = "11111 ";
if (m_has_dft_matrix && (NULL != m_dft2_matrix) && ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width)>0) && ((NULL != m_spectrum_data))) {
// get max value
double max = 0;
for (int u = 0; u<m_dft_matrix_height; u++) {
for (int v = 0; v<m_dft_matrix_width; v++) {
if (m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] > max) {
max = m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width];
}
}
}
// normalize
if (max <= 0) {
OutputDebugStringA("11111 Dft2D::NormalizeSpectrum() max value is incorrect! function aborts.");
return;
}
else {
for (int u = 0; u<m_dft_matrix_height; u++) {
for (int v = 0; v<m_dft_matrix_width; v++) {
m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] = (255 * m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width]) / max;
}
}
}
m_is_normalized = true;
sprintf(msg + 6, "max: %lf", max);
OutputDebugStringA(msg);
}
else
m_is_normalized = false;
}
void CDft2::shift_spectrum_to_center()
{
char msg[256] = "11111 ";
if (m_is_spectrum_shifted)
return;
if (m_has_dft_matrix && (NULL != m_dft2_matrix) && ((m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width)>0) && ((NULL != m_spectrum_data))) {
double *tempData = new double[m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width];
memcpy(tempData, m_spectrum_data, m_dft_matrix_height*m_dft_matrix_width*sizeof(double));
//移到中心
for (int u = 0; u<m_dft_matrix_height; u++) {
for (int v = 0; v<m_dft_matrix_width; v++) {
//sprintf(msg+6, "%d, %d, tempData: %lf", u+1, v+1, tempData[v+u*m_nDftMatrixWidth]);
//OutputDebugStringA(msg);
if ((u<(m_dft_matrix_height / 2)) && (v<(m_dft_matrix_width / 2))) {
m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] =
tempData[m_dft_matrix_width / 2 + v + (m_dft_matrix_height / 2 + u)*m_dft_matrix_width];
}
else if ((u<(m_dft_matrix_height / 2)) && (v >= (m_dft_matrix_width / 2))) {
m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] =
tempData[(v - m_dft_matrix_width / 2) + (m_dft_matrix_height / 2 + u)*m_dft_matrix_width];
}
else if ((u >= (m_dft_matrix_height / 2)) && (v<(m_dft_matrix_width / 2))) {
m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] =
tempData[(m_dft_matrix_width / 2 + v) + (u - m_dft_matrix_height / 2)*m_dft_matrix_width];
}
else if ((u >= (m_dft_matrix_height / 2)) && (v >= (m_dft_matrix_width / 2))) {
m_spectrum_data[v + u*m_dft_matrix_width] =
tempData[(v - m_dft_matrix_width / 2) + (u - m_dft_matrix_height / 2)*m_dft_matrix_width];
}
}
}
m_is_spectrum_shifted = true;
if (tempData)
delete[] tempData;
}
}
在CDft2实现文件中，实现二维傅里叶变换的函数dft2()主要代码如下（基本是按照式1-1来实现）：
m_dft2_matrix = new CComplexNumber[width*height];
CComplexNumber cplTemp(0, 0);
double fixed_factor_for_axisX = (-2 * PI) / height; // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
double fixed_factor_for_axisY = (-2 * PI) / width; // evaluate -i2π/N of -i2πux/N, and store the value for computing efficiency
for (int u = 0; u<height; u++) {
for (int v = 0; v<width; v++) {
for (int x = 0; x<height; x++) {
for (int y = 0; y<width; y++) {
double powerX = u * x * fixed_factor_for_axisX; // evaluate -i2πux/N
double powerY = v * y * fixed_factor_for_axisY; // evaluate -i2πux/N
cplTemp.m_rl = matrix[y + x*width] * cos(powerX + powerY); // evaluate f(x) * e^(-i2πux/N), which is equal to f(x) * (cos(-i2πux/N)+sin(-i2πux/N)i) according to Euler's formula
cplTemp.m_im = matrix[y + x*width] * sin(powerX + powerY);
m_dft2_matrix[v + u*width] = m_dft2_matrix[v + u*width] + cplTemp;
}
}
}
}
逆变换函数idft2()也主要是按照前面给出的逆变换公式定义来实现。
求模函数generate_spectrum()的实现逻辑：对于复数x = a+bi，其模为m = mod(x) = sqrt(a2+b2)，其中sqrt代表根号。
归一化函数normalize_spectrum()的实现逻辑：先遍历矩阵，找到最大值max，然后对于矩阵中的每一个元素matrix[i]，执行matrix[i] = 255*(matrix[i]/max)，从而归一化到[0,255]。
平移中心函数shift_spectrum_to_center()的实现逻辑：将频谱图平分为4个象限，将1、3象限对换，2、4象限对换。主要通过坐标转换实现。
现在，我们编写并运行一个测试线程，对一个包含三行四列数据的二维信号进行傅里叶变换，以验证上述代码。
DWORD WINAPI test(LPVOID lParam)
{
char msg[256] = "11111 ";
int width = 4;
int height = 3;
double mat[] = { 1, 1, 3, 2, 3, 4, 123, 154, 55, 2, 22, 233 };
// Fourier transform
CDft2 dft2;
dft2.dft2(mat, width, height);
dft2.print_matrix();
dft2.generate_spectrum();
dft2.normalize_spectrum();
dft2.print_spectrum();
// inverse Fourier transform
LPVOID pMat = NULL;
int iHeight = 0;
int iWidth = 0;
dft2.idft2(&pMat, &iWidth, &iHeight);
double *iMat = (double *)pMat;
if (((iWidth*iHeight)>0) && (NULL != iMat)) {
for (int x = 0; x<iHeight; x++) {
for (int y = 0; y<iWidth; y++) {
sprintf(msg+6, "inverse fourier result %d, %d: %lf, %lf", x+1, y+1, iMat[y+x*iWidth]);
OutputDebugStringA(msg);
}
}
delete[] iMat;
}
return 0;
}
在MFC对话框资源中添加一个test按钮，在按钮事件响应函数中添加：
::CreateThread(NULL,0, test, 0, 0, NULL);
然后编译项目。编译成功后，先打开DebugView日志观察工具，再启动生成的exe，点击test按钮，可以在DebugView中看到以下日志输出：
可以看到，逆变换的结果和原始信号完全一致。
使用Matlab的fft2()函数对原始信号进行变换，得到的结果也和上述变换结果一致。
因此我们的实现代码是有效的，输出了正确的变换结果。
当原始信号超过512*512时，本文给出的实现代码执行一次变换大约需要几十秒，这令人难以忍受。
后续我们将介绍基于蝶形分解的快速傅里叶变换，其完成一次512*512原始信号变换只需要几十毫秒。
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