如何在类型中编码可能的状态转换？

我试图在 Haskell 中复制这段 Idris 代码，它通过类型强制执行正确的操作顺序：

 data DoorState = DoorClosed | DoorOpen
 data DoorCmd : Type ->
                DoorState ->
 DoorState ->
                Type where
      Open : DoorCmd     () DoorClosed DoorOpen
      Close : DoorCmd    () DoorOpen   DoorClosed
      RingBell : DoorCmd () DoorClosed DoorClosed
      Pure : ty -> DoorCmd ty state state
      (>>=) : DoorCmd a state1 state2 ->
              (a -> DoorCmd b state2 state3) ->
              DoorCmd b state1 state3

由于超载(>>=)运算符，可以编写如下一元代码：

do Ring 
   Open 
   Close

但编译器拒绝不正确的转换，例如：

do Ring
   Open 
   Ring
   Open

我尝试在以下 Haskell 片段中遵循这种模式：

 data DoorState = Closed | Opened

 data DoorCommand (begin :: DoorState) (end :: DoorState) a where
   Open  :: DoorCommand 'Closed 'Opened ()
   Close :: DoorCommand 'Opened 'Closed ()
   Ring  :: DoorCommand 'Closed 'Closed ()

   Pure  :: x -> DoorCommand b e x
   Bind  :: DoorCommand b e x -> (x -> DoorCommand e f y) -> DoorCommand b f y

 instance Functor (DoorCommand b e) where
   f `fmap` c = Bind c (\ x -> Pure (f x))

 -- instance Applicative (DoorCommand b e) where
 --    pure    = Pure
 --    f <*> x = Bind f (\ f' -> Bind x (\ x' -> Pure (f' x')))

 -- instance Monad (DoorCommand b e) where
 --   return = Pure
 --   (>>=) = Bind

但这当然失败了：Applicative and Monad无法正确定义实例，因为它们需要两个不同的实例才能正确排序操作。构造函数Bind可以用来强制执行正确的排序，但我无法设法使用“更好的”do 表示法。

我怎样才能编写这段代码才能使用 do 表示法，例如以防止无效序列Commands ?

您要找的确实是 Atkey 的参数化单子 http://bentnib.org/paramnotions-jfp.pdf，现在更常被称为索引单子.

class IFunctor f where
    imap :: (a -> b) -> f i j a -> f i j b
class IFunctor m => IMonad m where
    ireturn :: a -> m i i a
    (>>>=) :: m i j a -> (a -> m j k b) -> m i k b

IMonad是类 monad 事物的类m :: k -> k -> * -> *通过属于该类型的类型的有向图描述路径k. >>>=绑定一个计算，该计算从以下位置获取类型级别状态i to j进行计算，将其取自j to k，返回更大的计算i to k. ireturn允许您将纯值提升到一元计算中，而不会更改类型级别状态。

我将使用索引自由单子捕获这种请求-响应操作的结构，主要是因为我不想弄清楚如何编写IMonad我自己的类型的实例：

data IFree f i j a where
    IReturn :: a -> IFree f i i a
    IFree :: f i j (IFree f j k a) -> IFree f i k a

instance IFunctor f => IFunctor (IFree f) where
    imap f (IReturn x) = IReturn (f x)
    imap f (IFree ff) = IFree $ imap (imap f) ff
instance IFunctor f => IMonad (IFree f) where
    ireturn = IReturn
    IReturn x >>>= f = f x
    IFree ff >>>= f = IFree $ imap (>>>= f) ff

我们可以打造您的Door来自以下函子的 monad 免费：

data DoorState = Opened | Closed
data DoorF i j next where
    Open :: next -> DoorF Closed Opened next
    Close :: next -> DoorF Opened Closed next
    Ring :: next -> DoorF Closed Closed next

instance IFunctor DoorF where
    imap f (Open x) = Open (f x)
    imap f (Close x) = Close (f x)
    imap f (Ring x) = Ring (f x)

type Door = IFree DoorF

open :: Door Closed Opened ()
open = IFree (Open (IReturn ()))
close :: Door Opened Closed ()
close = IFree (Close (IReturn ()))
ring :: Door Closed Closed ()
ring = IFree (Ring (IReturn ()))

You can open一扇门，导致当前关闭的门打开，close当前打开的门，或ring门铃一直关着，大概是因为房子的主人不想见到你。

最后，RebindableSyntax语言扩展意味着我们可以替换标准Monad按照我们自己的习惯上课IMonad.

(>>=) = (>>>=)
m >> n = m >>>= const n
return = ireturn
fail = undefined

door :: Door Open Open ()
door = do
    close
    ring
    open

但是我注意到您并没有真正使用单子的绑定结构。没有你的构建模块Open, Close or Ring返回一个值。所以我认为你真正需要的是以下更简单的类型对齐列表 type:

data Path g i j where
    Nil :: Path g i i
    Cons :: g i j -> Path g j k -> Path g i k

在操作上，Path :: (k -> k -> *) -> k -> k -> *就像一个链表，但它有一些额外的类型级结构，再次描述了通过有向图的路径，其节点位于k。列表的元素是边g. Nil说你总是可以找到从节点开始的路径i对自己和Cons提醒我们，千里之行始于足下：如果你有优势i to j和一条路径j to k，您可以将它们组合起来形成一条路径i to k。它被称为一个类型对齐列表因为一个元素的结束类型必须与下一个元素的起始类型匹配。

在咖喱霍华德街的另一边，如果g则为二元逻辑关系Path g构造其自反传递闭包。或者，断然地，Path g是态射的类型免费类别图表的g。在自由类别中组合态射只是（翻转）附加类型对齐列表。

instance Category (Path g) where
    id = Nil
    xs . Nil = xs
    xs . Cons y ys = Cons y (xs . ys)

然后我们可以写Door按照Path:

data DoorAction i j where
    Open :: DoorAction Closed Opened
    Close :: DoorAction Opened Closed
    Ring :: DoorAction Closed Closed

type Door = Path DoorAction

open :: Door Closed Opened
open = Cons Open Nil
close :: Door Opened Closed
close = Cons Close Nil
ring :: Door Closed Closed
ring = Cons Ring Nil

door :: Door Open Open
door = open . ring . close

你不明白do符号（虽然我think RebindableSyntax确实允许您重载列表文字），但是使用以下命令构建计算(.)看起来像是纯函数的排序，我认为这对于你正在做的事情来说是一个很好的类比。对我来说，使用索引单子需要额外的脑力——一种稀有而珍贵的自然资源。当更简单的结构就可以时，最好避免 monad 的复杂性。