之前介绍过几种矩阵分解方法，都可以有效的提升矩阵方程的数值求解问题，其中LU分解尤其适合于中小型、稠密矩阵的求解问题。我们最理想的矩阵就是可相似对角化的矩阵，直接可以分解成两个酉矩阵和一个对角矩阵的形式，那么如果一个矩阵不符合可相似对角化的条件应该怎么解决呢？这里提出Jordan分解，提供了对不可相似对角化矩阵分解的解决方案。
给定一个矩阵A，可以通过相似正交变换成一个上三角矩阵（任意n阶方阵），其实可以将LU分解中的L进行施密特正交化。
上面将X分解为UR，其中U是酉矩阵，R是上三角矩阵。那么我们可以得出Schur分解的定义。
任意n阶方阵，酉相似于一个以其特征值为对角元的上三角矩阵R。
2. 特殊矩阵的特征系统
由Schur定理可以自然想到，什么样的矩阵会酉相似于对角矩阵呢？答案是正规矩阵。
正规矩阵
设
H这里表示共轭，类比于实数矩阵的转置的概念，因为矩阵中会包含虚数，所以使用H表示共轭。
Hermite矩阵：
斜Hermite矩阵：
酉阵：
对于上面这四种特殊的矩阵，对应的R各有不同，这里直接可以记忆结论：
先来了解特征值的代数重数和几何重数的概念。对任意一个矩阵，我们都可以写出其特征值的表达形式，
代数重数与几何重数的关系
对任何一个n阶方阵A的特征值
半单与亏损
设A为n阶方阵，
我们还可以引申出几条基本概念：
由上面的定理和推论，我们知道一般的矩阵可以分为，可以相似对角化和不可相似对角化矩阵，那么对于不可相似对角化的矩阵我们就提出了Jordan分解，接下来了解一下具体什么是Jordan分解。
我们称如下形式的矩阵为Jordan块，
2. Jordan标准型
简单来说，由若干个Jordan块构成的矩阵就是Jordan标准型。严谨的定义如下所示，
特别注意的一点是，如果不计Jordan块的顺序，则Jordan标准型唯一。
那么如何才能求解得到Jordan标准型呢？
Jordan标准型的基本特点：
① Jordan标准型是一个块对角矩阵，对角元是矩阵A的特征值
②对于特征值
③对于特征值
通过下面这张图片，更加清晰了解这个Jordan标准型的样貌。
直观来讲，如果有一个三阶矩阵，其三个特征值都相同，代数重数为3，几何重数为2，那么Jordan标准型如何呢？
那么其实对于该三阶矩阵来说其实Jordan标准型是唯一的（不考率Jordan块的顺序）。
但是，很容易我们想到4阶矩阵，就存在问题，如果代数重数是4，几何重数为2，那么存在两种可能的Jordan标准型。
那么我们还记得上面的概念提到过，如果不考虑Jordan块的顺序，则Jordan标准型唯一，那么我们如何确定到底哪个是正确的呢？
这里引入一个判定公式：
为了计算上的简便，我们从一阶Jordan块开始计算，计算其阶数，如果其阶数为0，则我们就知道Jordan块是两个2阶的Jordan块。
通过上面的过程我们可以确定J的形式，那么如何确定T的形式呢？
求解变换矩阵T：
根绝
详细求解过程，可以参考下面的例题，
Jordan分解的计算还是一如既往需要不断通过题目进行锤炼。
归纳一下计算步骤：
1.计算Jordan标准型
2.计算变换矩阵T
利用Jordan变换，可以得到很重要的定理，Hamilton-Caylay定理，
其应用非常广泛，可以通过这个定理简化矩阵计算。
上面的
Jordan分解是非常重要的一种矩阵分解，应用非常广泛，无论是为了应试还是实际科研编程都是矩阵计算的利器，之后介绍的矩阵函数计算会再次使用到Jordan分解。
下一节，介绍同样非常重要的奇异值分解。
