对于接近统一的值，浮点数学是否更精确？

Question

我多次被告知，如果运算的数字接近于浮点运算，则浮点运算具有最高的精度。1.0（或者有时0.1）。有没有道理呢？

澄清

我所说的“算术”是指诸如a + b, a * b, a / b， 但是也sqrt(x)和其他数学函数。

具体来说，假设所有变量都是IEEE 64 位双精度 https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format浮点数字。

Example

在物理模拟代码中，通常通过将物理单位映射到浮点值来合并物理单位。在这里我们有很多自由，但一个选择是随从国际单位/公制 https://en.wikipedia.org/wiki/International_System_of_Units， 就像是

# Base units
m  = 1.0  # metre
s  = 1.0  # second
kg = 1.0  # kilogram
# Derived units
km = 1e+3*m             # kilometre
yr = 60*60*24*365.25*s  # year
m_sun = 1.98841e+30*kg  # mass of the sun
c = 299792458*m/s       # speed of light
...

此类代码中任何量纲变量的数值取决于单位制的选择。如果我们得到一个值x == 1.2e-9 and x应被理解为例如长度，我们知道这意味着x是1.2纳米。如果我们选择设置m = 1e-9, x相反，会得到一个值1.2，因为我们现在使用的单位系统中纳米是基本长度单位。

根据模拟中研究的物理系统，可以选择不同的“自然”单位系统。如果我们的重点是原子物理学，那么选择太阳的质量作为基本质量单位可能并不理想。那么为什么不呢？这就是我的问题。当然，所有感兴趣的群体都会有很小的数值，但那又怎样呢？浮点运算固有的不精确性是否会因处理极小/极大的数字而被放大？

我知道存在最小和最大浮点数（类似于1e-324 and 1e+308）。使用单位系统对于手头的任务来说是如此不合时宜，以至于我们的变量值超出了这些限制，这当然是具有破坏性的。不过，将值保持在这些条内，代码中的典型值是否符合顺序真的有什么区别吗？1.0, 1e±10, 1e±100?

关于数学函数的注意事项

事实上，在输入非常大/小的情况下，各种数学函数都明显不精确。举个例子，cos(1e-8) == 1，即cos()函数无法区分小于的正数1e-8。这是not与我的问题相关，作为输入cos()必须始终是无量纲的纯数，即独立于代码中定义的单位系统。所有其他三角函数也是如此，而且exp(), log()和别的。

对于接近统一的值，浮点数学是否更精确？

并不真地。

一般来说，浮点数学很好地保留了realtive精度为*, /, sqrt()覆盖浮点范围的大部分。+, -由于减去附近的值，（结果）相对精度会显着损失。

Overall, there is little difference for normal numbers for relative precision. It varies from (0.5 to 1.0] * 2^-53.

绝对精度以 2 的幂为步长变化。

Floating point numbers [0.5...1.0) have the same absolute precision. For double 2^-54.
Floating point numbers [1.0...2.0) have the same absolute precision. For double 2^-53.
Floating point numbers [2.0...4.0) have the same absolute precision. For double 2^-52.
Floating point numbers [4.0...8.0) have the same absolute precision. For double 2^-51.
etc.

如果运算的数字接近 1.0（有时为 0.1），则浮点运算具有最高的精度。有没有道理呢？

略低于 2 的幂的值比略高于 2 的幂的值具有更高的绝对精度（约 2 倍）。

与微小的低于正常的值，精度会丢失，每 2 的幂一位，直到达到 0.0。

高级：当三角函数的幅值很大时，需要特别注意。高品质sin(1e10)执行内部扩展高精度参数缩减到主要 [-pi ... pi] 范围。并非所有三角函数实现都能很好地处理此步骤。因此，对于弧度参数，从主要范围开始对于保持精度很有用。对于度数参数，一个简单的fmod(deg, 360.0)是一个简单而精确的范围缩小。