免责声明：当你考虑 ⊥ 时，很多东西并不能真正正常工作，所以为了简单起见，我将公然忽略它。
初步的几点：
请注意，“联合”可能不是这里 A+B 的最佳术语——具体来说a disjoint union http://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_union两种类型的区别，因为即使类型相同，两侧也是有区别的。无论如何，更常见的术语就是“总和类型”。
实际上，单例类型是所有单元类型。它们在代数运算下的行为相同，更重要的是，仍然保留了存在的信息量。
您可能还想要一个零类型。 Haskell 规定为Void。不存在类型为零的值，就像存在一个类型为一的值一样。
这里还缺少一项重大操作，但我稍后会再讲。
正如您可能已经注意到的，Haskell 倾向于借用范畴论中的概念，并且上述所有内容都有一个非常简单的解释：
给定对象 A 和 BHask，他们的乘积 A×B 是允许两个投影的唯一（同构）类型fst: A×B → A 和snd: A×B → B，其中给定任何类型 C 和函数f：C→A，g: C → B 您可以定义配对f&&&g: C → A×B 使得fst ∘ (f &&& g) = f同样对于g。参数化自动保证了通用属性，我对名称的不那么微妙的选择应该能让你明白。这(&&&)运算符定义在Control.Arrow， 顺便一提。
上面的对偶是带有注射的副产品 A+Binl: A → A+B 且inr: B → A+B，其中给定任何类型 C 和函数f：A→C，g：B→C，可以定义配对f ||| g: A+B → C 使得明显的等价成立。同样，参数化自动保证了大多数棘手的部分。在这种情况下，标准注射很简单Left and Right配对是函数either.
乘积和求和类型的许多属性都可以从上面导出。请注意，任何单例类型都是终端对象Hask任何空类型都是初始对象。
Returning to the aforementioned missing operation, in a cartesian closed category http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category you have exponential objects http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_object that correspond to arrows of the category. Our arrows are functions, our objects are types with kind *, and the type A -> B indeed behaves as BA in the context of algebraic manipulation of types. If it's not obvious why this should hold, consider the type Bool -> A. With only two possible inputs, a function of that type is isomorphic to two values of type A, i.e. (A, A). For Maybe Bool -> A we have three possible inputs, and so on. Also, observe that if we rephrase the copairing definition above to use algebraic notation, we get the identity CA × CB = CA+B.
As for why这一切都是有道理的——特别是为什么你使用幂级数展开式是合理的——请注意，上面的大部分内容都指的是某种类型的“居民”（即具有该类型的不同值），以证明代数行为。为了明确这一观点：
产品类型(A, B)代表一个值，每个来自A and B，独立拍摄。所以对于任何固定值a :: A, 有一个类型值(A, B)对于每个居民B。这当然是笛卡尔乘积，乘积类型的居民数是各因子的居民数的乘积。
总和类型Either A B代表一个值A or B，区分左右分支。前面提到，这是一个不相交并集，sum类型的居民数是被加数的居民数之和。
指数型B -> A表示类型值的映射B到类型的值A。对于任何固定参数b :: B，任何值A可以分配给它；类型的值B -> A为每个输入选择一个这样的映射，这相当于多个副本的乘积A as B有居民，因此求幂。
虽然一开始很想将类型视为集合，但实际上在这种情况下效果并不好——我们有不相交的并集而不是标准的集合并集，对交集或许多其他集合运算没有明显的解释，而且我们通常不关心集合成员资格（将其留给类型检查器）。
另一方面，上面的结构花了很多时间谈论counting居民，以及列举类型的可能值在这里是一个有用的概念。这很快就会导致我们枚举组合数学 http://en.wikipedia.org/wiki/Enumerative_combinatorics，如果您查阅链接的维基百科文章，您会发现它所做的第一件事就是定义“对”和“并”，其含义与乘积和总和类型完全相同生成函数 http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function，然后使用与您所做的完全相同的技术对与 Haskell 列表相同的“序列”执行相同的操作。
Edit:哦，我认为这里有一个快速的奖励，它引人注目地证明了这一点。您在评论中提到对于树类型T = 1 + T^2你可以得出身份T^6 = 1，这显然是错误的。然而，T^7 = T does成立，树和树的七元组之间的双射可以直接构造，参见。安德烈亚斯·布拉斯的《七树合一》 http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/comb.html.
Edit×2:关于其他答案中提到的“类型的导数”结构的主题，您可能还会喜欢这篇论文来自同一作者 https://personal.cis.strath.ac.uk/~conor/Dissect.pdf它进一步建立在这个想法的基础上，包括除法和其他有趣的东西的概念。
