插值：已知有限个已知数据点，求得的插值函数必须过这些点，然后在这个范围内用插值函数求得未知数据点的值。
拟合：已知有限个已知数据点，但拟合函数不用过每一个数据点，只要在这些点的总偏差最小。
下面的几种插值方法不再赘述，可以参考链接，具体的会在程序中注解。
举个简单的例子：
已知三个点
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
,
(
x
3
,
y
3
)
，
x
1
≠
x
2
≠
x
3
(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})，x_{1}\neq x_{2}\neq x_{3}
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，x1=x2=x3,那么拉格朗日插值函数就可以写成：
f
(
x
)
=
y
1
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
(
x
1
−
x
2
)
(
x
1
−
x
3
)
+
y
2
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
3
)
(
x
2
−
x
1
)
(
x
2
−
x
3
)
+
y
3
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
f(x)=y_{1}\frac {(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}+y_{2}\frac {(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}+y_{3}\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}
f(x)=y1(x1−x2)(x1−x3)(x−x2)(x−x3)+y2(x2−x1)(x2−x3)(x−x1)(x−x3)+y3(x3−x1)(x3−x2)(x−x1)(x−x2)
不难发现：当
x
=
x
1
,
x
2
,
x
3
x=x_{1},x_{2},x_{3}
x=x1,x2,x3的时候，刚好是已知点对应的函数值，要插值的时候只需将
x
x
x换成该范围内的任意值即可，这下你应该很清楚了。
4. 例题与程序
%插值
clear,clc
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; %已知数据点
y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15; %要插值的点
y1=interp1(x0,y0,x); %第一种插值法：默认线性插值（分段线性插值）
y2=interp1(x0,y0,x,'spline'); %第二种插值法：三次样条插值
%csape(x0,y0,conds)
pp1=csape(x0,y0); %csape()函数返回给定点（x0,y0）的三次样条插值，此处conds默认为complete
y3=ppval(pp1,x); %ppval函数给出三次样条插值pp在x处对应的函数值
pp2=csape(x0,y0,'second'); %此处conds为边界为二阶导数，默认值为[0 0]
y4=ppval(pp2,x);
%y3和y4的差别在于conds的选择不同
%拉格朗日插值
syms t;
sum=0;
f=1;
for i=1:10
for j=1:10
if j==i
continue; %i=j时跳出本次循环
else
f=f.*(((t-x0(j))./(x0(i)-x0(j)))); %基函数表达式
end
end
sum=sum+f.*y0(i);
f=1;
end
y5=vpa(subs(sum,t,x),6) %将符号变量替换为x
A=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; %输出5种插值点的函数值
vpa(A,6) %显示5位有效数字
%-------------------------------绘图-----------------------------%
subplot(2,2,1)
plot(x0,y0,'+',x,y1,'-') %绘制原来数据点和分段线性插值的图像
title('Piecewise linear')
subplot(2,2,2) %用spline插值
plot(x0,y0,'+',x,y2)
title('Spline1')
subplot(2,2,3) %用csape插值
plot(x0,y0,'+',x,y3)
title('Spline2-csape')
subplot(2,2,4) %用拉格朗日插值
plot(x0,y0,'+',x,y5)
title('Lagrange')
%求x=0处的曲线斜率
dx=diff(x);
dy=diff(y3);
dy_dx=dy./dx;
dy_dx0=dy_dx(1)
%求x<=13<=15内的最小点
ytemp=y3(131:151); %步长是0.1
ymin=min(ytemp); %找到y的最小的y值再找到对应的x值
index=find(y3==ymin); %find()函数，返回.....的索引
xmin=x(index);
min_point_13_15=[xmin,ymin]
结果如下:
