从尾部的 qnorm 获取高精度值

问题

我正在寻找尾部正态分布的高精度值(1e-10 and 1 - 1e-10)，因为我使用的 R 包将任何超出此范围的数字设置为这些值，然后调用qnorm and qt功能。

我注意到的是qnorm从尾部来看，R 中的实现并不对称。这对我来说非常令人惊讶，因为众所周知，这个分布是对称的，并且我已经看到其他语言中的对称实现。我已经检查过qt函数，并且尾部也不对称。

以下是 qnorm 函数的结果：

x       qnorm(x)                qnorm(1-x)              qnorm(1-x) + qnorm(x)
1e-2    -2.3263478740408408     2.3263478740408408      0.0 (i.e < machine epsilon)
1e-3    -3.0902323061678132     3.0902323061678132      0.0 (i.e < machine epsilon)
1e-4    -3.71901648545568       3.7190164854557084      2.8421709430404007e-14
1e-5    -4.2648907939228256     4.2648907939238399      1.014299755297543e-12
1e-10   -6.3613409024040557     6.3613408896974208      -1.2706634855419452e-08

很明显，在值为x当接近 0 或 1 时，该函数就会崩溃。是的，在“正常”使用中这不是问题，但我正在研究边缘情况并将小概率乘以非常大的值，在这种情况下错误(1e-08)变成一个很大的值。

注意：我已经尝试过这个1-x并输入实际数字0.00001 and 0.99999并且准确性问题仍然存在。

问题

首先，这是一个已知问题吗？qnorm and qt实施？我在文档中找不到任何内容，该算法对于 p 值应该是准确的 16 位数字10^-314如中所述算法 AS 241 https://www.jstor.org/stable/2347330?seq=1#page_scan_tab_contents paper.

引用 R 文档：

Wichura, M. J. (1988) 算法 AS 241：正态分布的百分点。应用统计学，37, 477–484。

它提供高达约 16 位数字的精确结果。

如果R代码实现了7位数字版本，为什么它声称是16位数字？或者是“准确”但原始算法不对称且错误？

如果 R 确实实现了两个版本算法 AS 241 https://www.jstor.org/stable/2347330?seq=1#page_scan_tab_contents我可以打开 16 位版本吗？

或者有没有更准确的版本qnorm在 R 中？ 或者，我的问题的另一种解决方案，我需要分位数函数尾部的高精度。

R版

>version 
platform       x86_64-w64-mingw32          
arch           x86_64                      
os             mingw32                     
system         x86_64, mingw32             
status                                     
major          3                           
minor          3.2                         
year           2016                        
month          10                          
day            31                          
svn rev        71607                       
language       R                           
version.string R version 3.3.2 (2016-10-31)
nickname       Sincere Pumpkin Patch   

事实证明（正如 Spencer Graves 在他的回应 https://stat.ethz.ch/pipermail/r-devel/2017-April/074069.html对于 R-devel list-serve 上的同一问题）qnorm() does事实上，正如广告所宣传的那样。只是，为了在分布的上尾部获得高度准确的结果，您需要利用函数的lower.tail争论。

具体做法如下：

options(digits=22)

## For values of p in [0, 0.5], specify lower tail probabilities 
qnorm(p = 1e-10)                      ## x: P(X <= x) == 1e-10
# [1] -6.3613409024040557

## For values of p in (0.5, 1], specify upper tail probabilities
qnorm(p = 1e-10, lower.tail=FALSE)    ## x: P(X > x)  == 1e-10     (correct approach)
# [1] 6.3613409024040557
qnorm(p = 1 - 1e-10)                  ## x: P(X <= x) == 1-(1e-1)  (incorrect approach)
# [1] 6.3613408896974208

问题是1-1e-10（例如）会受到浮点舍入误差的影响，因此它与1（区间的上端）为1e-10来自0（区间的下端）。根本问题（它是R-常见问题解答 7.31 https://cran.r-project.org/doc/FAQ/R-FAQ.html#Why-doesn_0027t-R-think-these-numbers-are-equal_003f!) 当以更熟悉的形式呈现时就变得显而易见：

1 - (1 - 1e-10) == 1e-10
## [1] FALSE

最后，这是一个快速确认qnorm()根据其帮助文件中声明的值提供准确（或至少对称）的结果：

qnorm(1e-314)
## [1] -37.906647423565666
qnorm(1e-314, lower.tail=FALSE)
## [1] 37.906647423565666

## With this failing in just the way (and for just the reason) you'd now expect
qnorm(1-1e-314)
# [1] Inf
1 == (1-1e-314)
# [1] TRUE