C 中 DBL_EPSILON 和 Machine-Epsilon 的混淆

Machine-Epsilon 似乎有两个定义：

1. 将实数舍入到下一个浮点数时的最大相对误差。
2. 满足 1.0 + machine_eps != 1.0 的最小正数

首先，我不明白这两者是如何关联的。 根据我的理解，第二个 DBL_EPSILON 不符合定义 2：

以下程序打印：

DBL_EPSILON:            2.220446049250313080847e-16
DBL_EPSILON / 2:        1.110223024625156540424e-16
1.0 + DBL_EPSILON:      1.000000000000000222045e+00
1.0 + DBL_EPSILON / 2:  1.000000000000000000000e+00

m_eps                   2.220446049250313080847e-16
m_eps -1u               2.220446049250312834328e-16

1.0 + m_eps -1u         1.000000000000000222045e+00

(m_eps -1u < DBL_EPSILON):     True
(m_eps -1u == DBL_EPSILON/2):  False

m_eps -1u应该是一个更小的数字，但非常接近DBL_EPSILON。和 定义 2) 应该1.0 + m_eps -1u不评价为1.0？为什么有必要 划分DBL_EPSILON为此加2？

#include <stdout.h>
#include <stdint.h>
#inlcude <float.h>

union Double_t {
    double f;
    int64_t i;
};

int main(int argc, char *argv[])
{
    union Double_t m_eps;

    printf("DBL_EPSILON: \t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, DBL_EPSILON);
    printf("DBL_EPSILON / 2: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, DBL_EPSILON / 2);

    printf("1.0 + DBL_EPSILON: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + DBL_EPSILON);
    printf("1.0 + DBL_EPSILON / 2: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + DBL_EPSILON / 2);

    m_eps.f = DBL_EPSILON;
    printf("\nm_eps \t\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, m_eps.f);

    m_eps.i -= 1;
    printf("m_eps -1u\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, m_eps.f);
    printf("\n1.0 + (m_eps -1u)\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + m_eps.f);

    printf("\n(m_eps -1u < DBL_EPSILON): %s\n",
            (m_eps.f < DBL_EPSILON) ? "True": "False"
            );

    printf("(m_eps -1u == DBL_EPSILON/2): %s\n",
            (DBL_EPSILON/2 == m_eps.f) ? "True": "False"
            );
    return 0;
}

错误的定义DBL_EPSILON，您引用的“最小正数使得 1.0 + machine_eps != 1”正在浮动。您甚至可以在标准库和 StackOverflow 上的其他精美答案中找到它。当在标准库中找到时，它位于注释中的值附近，该值显然与注释不对应，但对应于正确的定义：

DBL_EPSILON：这个是1和最小的差值 浮点数类型double大于 1。（正确的定义取自 GNU C 库）

C99 标准是这样表述的：

1 与给定浮点类型可表示的大于 1 的最小值之间的差值 b^(1−p)

这可能是您感到困惑的原因。忘记错误的定义。我写了一篇关于这个的咆哮here http://blog.frama-c.com/index.php?post/2013/05/09/FLT_EPSILON（这非常像你的问题）。

当舍入结果是普通浮点数时，问题中的另一个定义“将实数舍入到下一个浮点数时的最大相对误差”是正确的。将实数舍入为有限浮点数会生成实值 1/2 ULP 以内的浮点数。对于普通浮点数，此 1/2 ULP 绝对误差转换为相对误差，该误差可能介于 DBL_EPSILON/2 和 DBL_EPSILON/4 之间，具体取决于浮点数在其内部的位置。binade http://en.wikipedia.org/wiki/Binade.