一、贝塞尔曲线
贝塞尔曲线(Bezier Curve)是一种基于多项式的曲线表示方法,由法国工程师Pierre Bézier在20世纪50年代提出。它是图形学中广泛应用的一种曲线类型,用于在二维或三维空间中描述平滑曲线和曲面。
原理:基于控制点的概念,通过控制点来定义曲线的形状,控制点的坐标决定了曲线的起始点、终止点以及曲线在这些点和它们之间的形状。
贝塞尔曲线可以由一组控制点和一组权重函数构成,其中每个控制点都有一个对应的权重函数,这个权重函数决定了控制点对曲线的影响程度。
一次直线:
Px=P0+(P1-P0)t = (1−t)P0+tP1
二次抛物线:
Pi=(1−t)P0+tP1 ; Pj=(1−t)P1+tP2; Px=(1−t)Pi+tPj
三次贝塞尔:
...更高阶
n阶贝塞尔公式:
6个控制点,五次贝塞尔曲线
性质:曲线的端点和曲线相切,曲线不一定通过控制点,但是肯定通过端点。
把控制点作为节点,可以拼接多段曲线,且拼接处是光滑的。
感谢使用贝塞尔曲线绘制多点连接曲线 - 简书提供的gif图片,一图胜千言!
感谢 博主 详解样条曲线(上)天真的和感伤的想象家的博客-CSDN博客细节好文!
下面用C++实现n次贝塞尔曲线,贝塞尔曲线控制点的数量(即vector<point>的size)决定贝塞尔曲线的阶数(n=size-1);
C++实现n次贝塞尔曲线
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
struct Point {
float x, y, z;
Point(float x = 0, float y = 0 ,float z=0):x(x),y(y),z(z){}
};
// 计算组合数
int binomial(int n, int i) {
int res = 1;
for (int j = 1; j <= i; ++j) {
res *= (n - j + 1) / (double)j; //(double)十分关键,不然j=i=n时,j为分数=0;
}
return res;
}
// 计算n次贝塞尔曲线上的点
Point bezier_curve(const vector<Point>& points, float t) {
int n = points.size() - 1;
Point res;
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
cout << "p:" << points[i].x << "," << points[i].y << endl;
float b = binomial(n, i)* pow(t, i) * pow(1 - t, n - i);
cout << "bino=" << binomial(n, i) << endl;
res.x = res.x + points[i].x * b;
res.y = res.y + points[i].y * b;
res.z = res.z + points[i].z * b;
}
return res;
}
int main() {
cout << "OK!" << endl;
ofstream fout("D:/data.txt"); // 打开或创建名为 data.txt 的文件
if (!fout) { // 检查文件是否打开成功
cerr << "File open failed!" << endl;
return 1;
}
vector<Point> points = {{10,10,0}, {20, 80,70},{40,120,32}}; // 贝塞尔曲线控制点,给定控制点的数量决定贝塞尔曲线的阶数
cout << "size:" << points.size() << endl;
const float step = 0.02; // 步长
for (float t = 0; t <= 1; t += step) {
Point p = bezier_curve(points, t);
fout << p.x << ", " << p.y <<", " <<p.z<< endl;
}
fout.close(); // 关闭文件
return 0;
}
把导出的数据文件,使用Matlab画图
% 从文件中导入坐标点,dlmread函数用于从文件中读取数据,','表示分隔符,0表示读取文件的起始行数,0表示读取文件的起始列数。
points = dlmread('D:\data.txt', ',', 0, 0);
scatter3(points(:, 1), points(:, 2), points(:, 3), 'filled');
二阶贝塞尔 points = {{10,10,0}, {20, 80,70},{40,120,32}}
三阶贝塞尔 points = {{10,10,0}, {20, 80,70},{40,120,32},{70,0,90}}
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