非正则递归类型的变形（折叠）类型是什么？

许多变形似乎很简单，主要是用自定义函数替换每个数据构造函数，例如

data Bool = False | True
foldBool :: r              -- False constructor
         -> r              -- True constructor
         -> Bool -> r

data Maybe a = Nothing | Just a
foldMaybe :: b             -- Nothing constructor
          -> (a -> b)      -- Just constructor
          -> Maybe a -> b

data List a = Empty | Cons a (List a)
foldList :: b              -- Empty constructor
         -> (a -> b -> b)  -- Cons constructor
         -> List a -> b

但是，我不清楚的是，如果使用相同类型的构造函数但使用不同类型的参数会发生什么。例如。而不是通过List a to Cons， 关于什么

data List a = Empty | Cons a (List (a,a))

或者，也许是一个更疯狂的案例：

data List a = Empty | Cons a (List (List a))
foldList :: b              -- Empty constructor
         -> ???            -- Cons constructor
         -> List a -> b

我对这个问题有两个看似合理的想法???部分是

• (a -> b -> b)，即替换所有应用程序List递归构造函数）
• (a -> List b -> b)，即仅仅替换所有List a应用程序。

这两者中哪一个是正确的——为什么？或者会是完全不同的东西吗？

这只是部分答案。

OP提出的问题是：如何定义fold/cata在非常规递归类型的情况下？

因为我不相信自己能做到这一点，所以我会求助于 Coq。让我们从一个简单的、常规的递归列表类型开始。

Inductive List (A : Type) : Type :=
  | Empty: List A
  | Cons : A -> List A -> List A
.

这里没什么特别的，List A定义为List A。 （记住这一点——我们稍后会讨论它。）

关于cata？我们来查询一下归纳原理。

> Check List_rect.
forall (A : Type) (P : List A -> Type),
   P (Empty A) ->
   (forall (a : A) (l : List A), P l -> P (Cons A a l)) ->
   forall l : List A, P l

让我们来看看。上述利用依赖类型：P取决于列表的实际值。让我们手动简化一下案例P list是常量类型B。我们获得：

forall (A : Type) (B : Type),
   B ->
   (forall (a : A) (l : List A), B -> B) ->
   forall l : List A, B

可以等价地写成

forall (A : Type) (B : Type),
   B ->
   (A -> List A -> B -> B) ->
   List A -> B

这是foldr除了“当前列表”也传递给二元函数参数——这不是主要区别。

现在，在 Coq 中我们可以用另一种稍微不同的方式定义一个列表：

Inductive List2 : Type -> Type :=
  | Empty2: forall A, List2 A
  | Cons2 : forall A, A -> List2 A -> List2 A
.

看似同一类型，却有着深刻的区别。这里我们不定义类型List A按照List A。相反，我们正在定义一个类型函数List2 : Type -> Type按照List2。要点是递归引用List2不必应用于A——以上我们这样做的事实只是一个事件。

无论如何，让我们看看归纳原理的类型：

> Check List2_rect.
forall P : forall T : Type, List2 T -> Type,
   (forall A : Type, P A (Empty2 A)) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A), P A l -> P A (Cons2 A a l)) ->
   forall (T : Type) (l : List2 T), P T l

让我们删除List2 T论证来自P就像我们之前所做的那样，基本上假设P是恒定的。

forall P : forall T : Type, Type,
   (forall A : Type, P A ) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A), P A -> P A) ->
   forall (T : Type) (l : List2 T), P T

等价地重写：

forall P : (Type -> Type),
   (forall A : Type, P A) ->
   (forall (A : Type), A -> List2 A -> P A -> P A) ->
   forall (T : Type), List2 T -> P T

大致对应于 Haskell 表示法

(forall a, p a) ->                          -- Empty
(forall a, a -> List2 a -> p a -> p a) ->   -- Cons
List2 t -> p t

还不错——基本情况现在必须是一个多态函数，就像Empty在哈斯克尔是。这有一定道理。类似地，归纳情况必须是多态函数，就像Cons是。还有一个额外的List2 a争论，但如果我们愿意的话，我们可以忽略它。

现在，上面仍然是一种折叠/猫regular类型。那么非常规的呢？我会学习

data List a = Empty | Cons a (List (a,a))

在 Coq 中变成：

Inductive  List3 : Type -> Type :=
  | Empty3: forall A, List3 A
  | Cons3 : forall A, A -> List3 (A * A) -> List3 A
.

根据归纳原理：

> Check List3_rect.
forall P : forall T : Type, List3 T -> Type,
   (forall A : Type, P A (Empty3 A)) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List3 (A * A)), P (A * A) l -> P A (Cons3 A a l)) ->
   forall (T : Type) (l : List3 T), P T l

删除“依赖”部分：

forall P : (Type -> Type),
   (forall A : Type, P A) ->
   (forall (A : Type), A -> List3 (A * A) -> P (A * A) -> P A ) ->
   forall (T : Type), List3 T -> P T

用哈斯克尔表示法：

   (forall a. p a) ->                                      -- empty
   (forall a, a -> List3 (a, a) -> p (a, a) -> p a ) ->    -- cons
   List3 t -> p t

除了额外的List3 (a, a)论证，这是一种折叠。

最后，OP类型呢？

data List a = Empty | Cons a (List (List a))

唉，Coq 不接受这种类型

Inductive  List4 : Type -> Type :=
  | Empty4: forall A, List4 A
  | Cons4 : forall A, A -> List4 (List4 A) -> List4 A
.

自从内在List4发生并不处于严格的积极位置。这可能是一个暗示，我应该停止偷懒并使用 Coq 来完成工作，并开始自己思考所涉及的 F 代数......;-)