线代有个很难理解的知识点,即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重数。 这个结论是怎么来的呢?本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这个知识点(结论推导所用的都是基础的线代知识,只是有些数学式子比较复杂,认真看完,理解很容易,相信自己!)。
a.首先一起看下会用到的两个tips:
tip 1:一定可以找到n个线性无关的n维向量,且它们可以表示任何一个n维向量
比如2维向量:能找到
α
1
=
(
1
,
0
)
T
和
α
2
=
(
1
,
1
)
T
\alpha_{1}=(1,0)^{T} 和 \alpha_{2}=(1,1)^{T}
α1=(1,0)T和α2=(1,1)T
两个线性无关的向量,能表示二维平面里面的所有向量。
3维向量:能找到
α
1
=
(
1
,
0
,
0
)
T
,
α
2
=
(
1
,
1
,
0
)
T
,
α
3
=
(
0
,
1
,
1
)
T
\alpha_{1}=(1,0,0)^{T} , \alpha_{2}=(1,1,0)^{T} ,\alpha_{3}=(0,1,1)^{T}
α1=(1,0,0)T,α2=(1,1,0)T,α3=(0,1,1)T三个线性无关的向量,能表示三维立体空间里面的所有向量。
tip 2:来计算一下某种行列式的值
n阶行列式:
以5阶为例,一起来找规律。
由此可见,其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子。
于是我们将此规律扩展到n维:
拓展到n维(为了方便,将后面的常数用“星号”代替)
至此两个需要用到的tips讲完了,接着开始证明。
b.准备就绪,开始证明:
设A为n阶矩阵,
λ
1
\lambda_{1}
λ1 是它特征值(重根),
α
1
α
m
\alpha_{1} ~ \alpha_{m}
α1 αm 分别为其m个线性无关的特征向量。所以我们所要证明的就是
λ
1
\lambda_{1}
λ1 的重数要≥m
证明:
1.构造一个n阶可逆矩阵P:
由于
α
1
\alpha_{1}
α1 ~
α
m
\alpha_{m}
αm 为n维向量,所以一定能找到
α
m
+
1
\alpha_{m+1}
αm+1 ~
α
n
\alpha_{n}
αn,使
α
1
\alpha_{1}
α1 ~
α
n
\alpha_{n}
αn 线性无关且可以表示任何一个n维向量(根据前面tip 1得到的)
因此可以构造出一个n阶可逆矩阵
P
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
m
,
α
m
+
1
,
…
,
α
n
)
P=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…,\alpha_{n} \right)
P=(α1,α2,…,αm,αm+1,…,αn)
2.A左乘可逆矩阵P:
A
P
=
(
A
α
1
,
A
α
2
,
…
,
A
α
m
,
A
α
m
+
1
,
…
,
A
α
n
)
AP=\left( A\alpha_{1} ,A\alpha_{2} ,…,A\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right)
AP=(Aα1,Aα2,…,Aαm,Aαm+1,…,Aαn)
由特征值与特征向量的关系:
A
α
i
=
λ
1
α
i
A\alpha_{i}=\lambda_{1}\alpha_{i}
Aαi=λ1αi (其中i=1,2,……,m)得
A
P
=
(
λ
1
α
1
,
λ
1
α
2
,
…
,
λ
1
α
m
,
A
α
m
+
1
,
…
,
A
α
n
)
AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right)
AP=(λ1α1,λ1α2,…,λ1αm,Aαm+1,…,Aαn)
又因为:
A
α
i
A\alpha_{i}
Aαi 的结果为n维向量(i=m+1,m+2,…,n)
所以
A
α
i
A\alpha_{i}
Aαi 的结果可以用
α
1
\alpha_{1}
α1 ~
α
n
\alpha_{n}
αn 线性表示出来(根据tip 1得到的),即:
A
α
i
=
a
1
i
α
1
+
a
2
i
α
2
+
…
+
a
n
i
α
n
=
∑
k
=
1
n
a
k
i
α
k
(
i
=
m
+
1
,
m
+
2
,
…
,
n
)
A\alpha_{i}=a_{1i}\alpha_{1}+a_{2i}\alpha_{2}+…+a_{ni}\alpha_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}\alpha_{ k}} (i=m+1,m+2,…,n)
Aαi=a1iα1+a2iα2+…+aniαn=∑k=1nakiαk(i=m+1,m+2,…,n)
2.把AP的结果用矩阵表示:
A
P
=
(
λ
1
α
1
,
λ
1
α
2
,
…
,
λ
1
α
m
,
A
α
m
+
1
,
…
,
A
α
n
)
AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right)
AP=(λ1α1,λ1α2,…,λ1αm,Aαm+1,…,Aαn)
⇒
A
P
=
(
λ
1
α
1
,
λ
1
α
2
,
…
,
λ
1
α
m
,
∑
k
=
1
n
a
k
(
m
+
1
)
α
k
,
…
,
∑
k
=
1
n
a
k
n
α
k
)
\Rightarrow AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,\sum_{k=1}^{n}{a_{k(m+1)}\alpha_{ k}} ,…,\sum_{k=1}^{n}{a_{kn}\alpha_{ k}} \right)
⇒AP=(λ1α1,λ1α2,…,λ1αm,∑k=1nak(m+1)αk,…,∑k=1naknαk)
⇒
A
p
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
m
,
α
m
+
1
,
…
,
α
n
)
\Rightarrow Ap=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…,\alpha_{n} \right)
⇒Ap=(α1,α2,…,αm,αm+1,…,αn)·
(
λ
1
a
1
(
m
+
1
)
⋯
a
1
n
λ
1
a
2
(
m
+
1
)
⋯
a
2
n
⋱
⋮
⋮
λ
1
a
m
(
m
+
1
)
⋯
a
m
n
0
0
⋯
0
a
(
m
+
1
)
(
m
+
1
)
⋯
a
(
m
+
1
)
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
0
a
n
(
m
+
1
)
⋯
a
n
n
)
\begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}
⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ10⋮0λ10⋮0⋱⋯⋯λ10⋮0a1(m+1)a2(m+1)⋮am(m+1)a(m+1)(m+1)⋮an(m+1)⋯⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amna(m+1)n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
所以就有:
P
−
1
A
P
=
(
λ
1
a
1
(
m
+
1
)
⋯
a
1
n
λ
1
a
2
(
m
+
1
)
⋯
a
2
n
⋱
⋮
⋮
λ
1
a
m
(
m
+
1
)
⋯
a
m
n
0
0
⋯
0
a
(
m
+
1
)
(
m
+
1
)
⋯
a
(
m
+
1
)
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
0
a
n
(
m
+
1
)
⋯
a
n
n
)
P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}
P−1AP=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ10⋮0λ10⋮0⋱⋯⋯λ10⋮0a1(m+1)a2(m+1)⋮am(m+1)a(m+1)(m+1)⋮an(m+1)⋯⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amna(m+1)n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
3.减去
λ
E
\lambda E
λE后,取行列式 :
P
−
1
A
P
−
λ
E
=
(
λ
1
a
1
(
m
+
1
)
⋯
a
1
n
λ
1
a
2
(
m
+
1
)
⋯
a
2
n
⋱
⋮
⋮
λ
1
a
m
(
m
+
1
)
⋯
a
m
n
0
0
⋯
0
a
(
m
+
1
)
(
m
+
1
)
⋯
a
(
m
+
1
)
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
0
a
n
(
m
+
1
)
⋯
a
n
n
)
−
λ
E
P^{-1}AP-\lambda E= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} -\lambda E
P−1AP−λE=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ10⋮0λ10⋮0⋱⋯⋯λ10⋮0a1(m+1)a2(m+1)⋮am(m+1)a(m+1)(m+1)⋮an(m+1)⋯⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮amna(m+1)n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞−λE
左边:
P
−
1
A
P
−
λ
E
=
P
−
1
A
P
−
λ
P
−
1
P
=
P
−
1
(
A
−
λ
E
)
P
P^{-1}AP-\lambda E=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P=P^{-1}(A-\lambda E)P
P−1AP−λE=P−1AP−λP−1P=P−1(A−λE)P
右边:
(
λ
1
−
λ
∗
⋯
∗
λ
1
−
λ
∗
⋯
∗
⋱
⋮
⋮
λ
1
−
λ
∗
⋯
∗
0
0
⋯
0
∗
⋯
∗
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
0
∗
⋯
∗
)
\begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix}
⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ1−λ0⋮0λ1−λ0⋮0⋱⋯⋯λ1−λ0⋮0∗∗⋮∗∗⋮∗⋯⋯⋯⋯⋯∗∗⋮∗∗⋮∗⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ (为了方便,将后面的常数用“星号”代替)
即得:
P
−
1
(
A
−
λ
E
)
P
=
(
λ
1
−
λ
∗
⋯
∗
λ
1
−
λ
∗
⋯
∗
⋱
⋮
⋮
λ
1
−
λ
∗
⋯
∗
0
0
⋯
0
∗
⋯
∗
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
0
∗
⋯
∗
)
P^{-1}(A-\lambda E)P= \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix}
P−1(A−λE)P=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ1−λ0⋮0λ1−λ0⋮0⋱⋯⋯λ1−λ0⋮0∗∗⋮∗∗⋮∗⋯⋯⋯⋯⋯∗∗⋮∗∗⋮∗⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
最后取行列式得:
左边:
∣
P
−
1
(
A
−
λ
E
)
P
∣
=
∣
P
−
1
∣
∣
A
−
λ
E
∣
∣
P
∣
=
∣
A
−
λ
E
∣
|P^{-1}(A-\lambda E)P|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|A-\lambda E|
∣P−1(A−λE)P∣=∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣=∣A−λE∣
右边:根据之前的tip 2得:
(
λ
1
−
λ
)
m
(
一
堆
式
子
)
(\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子)
(λ1−λ)m(一堆式子)
即得:
∣
A
−
λ
E
∣
=
(
λ
1
−
λ
)
m
(
一
堆
式
子
)
|A-\lambda E|=(\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子)
∣A−λE∣=(λ1−λ)m(一堆式子) ,
所以可以得到
λ
1
\lambda_{1}
λ1 至少为m重根,为什么至少呢?因为有可能后面乘以的一堆式子中可以提取出若干个
(
λ
1
−
λ
)
(\lambda_{1}-\lambda)
(λ1−λ) 出来,所以用至少这个词。
到此为止,我们得到想证的
λ
1
\lambda_{1}
λ1 的重数要≥m,命题成立。
到此结束~
我是煜神学长,考研我们一起加油!!!
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