使用端点和凸出距离绘制圆弧。在 OpenCV 或 PIL 中

在编写将 dxf 转换为 png 的脚本时，我需要绘制只有三个参数的圆弧，即圆弧的起点、圆弧的终点和凸出距离。

我检查了OpenCV和PIL，它们需要开始和结束角度来绘制这个弧。我可以使用一些几何图形找出这些角度，但想知道是否还有其他我错过的解决方案。

您有定义圆弧的三条信息：圆上的两个点（定义chord该圆的距离）和凸出距离（称为sagitta的圆弧）。

参见下图：

Here s是矢车菊，l是弦长的一半，并且r当然是半径。其他重要的未标记位置是弦与圆相交的点、矢状面与圆相交的点以及半径从其延伸的圆心。

对于 OpenCV 来说ellipse() https://docs.opencv.org/3.0-beta/modules/imgproc/doc/drawing_functions.html#ellipse函数，我们将使用以下原型：

cv2.ellipse(img, center, axes, angle, startAngle, endAngle, color[, thickness[, lineType[, shift]]]) → img

其中大部分参数由下图描述：

由于我们绘制的是圆形而不是椭圆形弧，因此长轴/短轴将具有相同的尺寸，并且旋转它没有区别，因此轴将是(radius, radius)和angle为了简化应该为零。那么我们需要的唯一参数就是圆心、半径以及绘制的起始角度和结束角度，对应于弦的点。这些角度很容易计算（它们只是圆上的一些角度）。所以最终我们需要找到圆的半径和圆心。

求半径和圆心与求圆方程相同，因此有很多方法可以实现。但由于我们在这里编程，最简单的方法（IMO）是在圆上定义第三个点，即矢形接触圆的位置，然后从这三个点求解圆。

因此，首先我们需要获得弦的中点，获得与该中点的垂直线，并将其延伸到矢状面的长度以到达第三点，但这很容易。我将开始给出pt1 = (x1, y1) and pt2 = (x2, y2)作为我在圆上的两点和sagitta是“凸出深度”（即您拥有的参数）：

# extract point coordinates
x1, y1 = pt1
x2, y2 = pt2

# find normal from midpoint, follow by length sagitta
n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))

if np.isclose(n_dist, 0):
    # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
    print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

n = n/n_dist
x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n

现在我们得到了圆上的第三个点。请注意，矢矢只有一定的长度，因此它可以向任一方向移动——如果矢矢为负，则它会从弦向一个方向移动，如果为正，则它会向另一个方向移动。不确定这是否是给你这个距离的方式。

那么我们可以简单地使用行列式求解半径和中心 https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399.

# calculate the circle from three points
# see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
A = np.array([
    [x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
    [x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
    [x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])

if np.isclose(M11, 0):
    # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
    print('Error: The third point is collinear.')

cx = 0.5 * M12/M11
cy = -0.5 * M13/M11
radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)

最后，由于我们需要起始角度和结束角度来用 OpenCV 绘制椭圆，所以我们可以使用atan2()获取从中心到初始点的角度：

# calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi

所以我将这一切打包成一个函数：

def convert_arc(pt1, pt2, sagitta):

    # extract point coordinates
    x1, y1 = pt1
    x2, y2 = pt2

    # find normal from midpoint, follow by length sagitta
    n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
    n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))

    if np.isclose(n_dist, 0):
        # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
        print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

    n = n/n_dist
    x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n

    # calculate the circle from three points
    # see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
    A = np.array([
        [x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
        [x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
        [x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
    M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
    M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
    M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
    M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])

    if np.isclose(M11, 0):
        # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
        print('Error: The third point is collinear.')

    cx = 0.5 * M12/M11
    cy = -0.5 * M13/M11
    radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)

    # calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
    pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
    pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi

    return (cx, cy), radius, pt1_angle, pt2_angle

使用这些值，您可以使用 OpenCV 绘制弧线ellipse()功能。然而，这些都是浮点值。ellipse()确实可以让您使用以下命令绘制浮点值shift争论，但如果你不熟悉它，那就有点奇怪了，所以我们可以借用解决方案这个答案 https://stackoverflow.com/a/44892317/5087436定义一个函数

def draw_ellipse(
        img, center, axes, angle,
        startAngle, endAngle, color,
        thickness=1, lineType=cv2.LINE_AA, shift=10):
    # uses the shift to accurately get sub-pixel resolution for arc
    # taken from https://stackoverflow.com/a/44892317/5087436
    center = (
        int(round(center[0] * 2**shift)),
        int(round(center[1] * 2**shift))
    )
    axes = (
        int(round(axes[0] * 2**shift)),
        int(round(axes[1] * 2**shift))
    )
    return cv2.ellipse(
        img, center, axes, angle,
        startAngle, endAngle, color,
        thickness, lineType, shift)

然后要使用这些功能就很简单：

img = np.zeros((500, 500), dtype=np.uint8)
pt1 = (50, 50)
pt2 = (350, 250)
sagitta = 50

center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()

再次注意，负矢矢给出了另一个方向的弧：

center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, -sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 127)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()

最后，为了扩展，我在convert_arc()功能。第一的：

if np.isclose(n_dist, 0):
    # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
    print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

这里的错误是因为我们需要得到一个单位向量，所以我们需要除以长度，而长度不能为零。当然，这只有在以下情况下才会发生pt1 and pt2是相同的点，因此您只需在函数顶部检查它们是否是唯一的，而不是在此处检查。

Second:

if np.isclose(M11, 0):
    # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
    print('Error: The third point is collinear.')

仅当三个点共线时才会发生这种情况，而只有当 sagitta 为 0 时才会发生这种情况。因此，您可以在函数的顶部检查这一点（也许会说，好吧，如果它是 0，则只需从pt1 to pt2或任何你想做的事）。