使用加法、减法和减半计算三角根

特定游戏的规则是角色的力量与角色的力量成正比。三角根 https://math.stackexchange.com/q/698961/93170角色的经历。例如，15-20经验获得5力量，21-27经验获得6力量，28-35经验获得7力量等等。据了解，有些玩家的经验达到了数千亿。

我试图在只有三个算术指令的 8 位机器上实现这个游戏：加法、减法和除以 2。例如，要将一个数字乘以 4，程序会将其与自身相加两次。一般乘法要慢得多；我已经编写了一个软件子例程来使用四分之一方桌来完成此操作。

我曾考虑过计算三角根T(p)通过二分搜索 https://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method用于从上方和下方限定经验数的连续三角形数。我的计划是使用重复身份T(2*p)直到它超过经验，然后将其用作二分搜索的上限。但我很难找到一个身份T((x+y)/2)在不使用任何一个的二分法中x*y or (x+y)^2.

是否有一种有效的算法只需加、减、减半即可计算数字的三角根？或者我最终是否必须执行 O(log n) 乘法，一次来计算二分搜索中的每个中点？或者考虑实施长除法以使用牛顿法会更好吗？

的定义T(x):

T(x) = (n * (n + 1))/2

我得出的身份：

T(2*x) = 4*T(x) - x
# e.g. T(5) = 15, T(10) = 4*15 - 5 = 55

T(x/2) = (T(x) + x/2)/4
# e.g. T(10) = 55, T(5) = (55 + 5)/4 = 15

T(x + y) = T(x) + T(y) + x*y
# e.g. T(3) = 6, T(7) = 28, T(10) = 6 + 28 + 21 = 55

T((x + y)/2) = (T(x) + T(y) + x*y + (x + y)/2)/4
# e.g. T(3) = 6, T(7) = 28, T(5) = (6 + 28 + 21 + 10/2)/4 = 15

进行二分搜索，但确保y - x总是 2 的幂。 （这不会增加渐近运行时间。）然后T((x + y) / 2) = T(x) + T(h) + x * h, where h是二的幂，所以x * h可以通过平移来计算。

这是一个 Python 概念证明（仓促编写，或多或少未优化，但避免了昂贵的操作）。

def tri(n):
    return ((n * (n + 1)) >> 1)

def triroot(t):
    y = 1
    ty = 1

    # Find a starting point for bisection search by doubling y using
    # the identity T(2*y) = 4*T(y) - y. Stop when T(y) exceeds t.
    # At the end, x = 2*y, tx = T(x), and ty = T(y).
    while (ty <= t):
        assert (ty == tri(y))
        tx = ty
        ty += ty
        ty += ty
        ty -= y
        x = y
        y += y

    # Now do bisection search on the interval [x .. x + h),
    # using these identities:
    # T(x + h) = T(x) + T(h) + x*h
    # T(h/2) = (T(h) + h/2)/4
    th = tx
    h = x
    x_times_h = ((tx + tx) - x)
    while True:
        assert (tx == tri(x))
        assert (x_times_h == (x * h))

        # Divide h by 2
        h >>= 1
        x_times_h >>= 1
        if (not h):
            break
        th += h
        th >>= 1
        th >>= 1

        # Calculate the midpoint of the search interval
        tz = ((tx + th) + x_times_h)
        z = (x + h)
        assert (tz == tri(z))

        # If the midpoint is below the target, move the lower bound
        # of the search interval up to the midpoint
        if (t >= tz):
            tx = tz
            x = z
            x_times_h += ((th + th) - h)
    return x
for q in range(1, 100):
    p = triroot(q)
    assert (tri(p) <= q < tri((p + 1)))
    print(q, p)