数学分析 反函数存在性定理，连续性定理与求导定理

反函数存在性定理

若函数 y=f(x),x∈Df $y = f(x), x \in D_f$ 是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
x=f−1(y):Rf→X $x = f^{-1}(y): R_f \rightarrow X$， 并且 f−1(y) $f^{-1}(y)$ 也是严格单调增加（减少）的。

证明：

不妨设 y=f(x),x∈Df $y = f(x), x \in D_f$ 严格单调增加， 可知 ∀x1,x2∈Df,x1<x2⇒f(x1)<f(x2) $\forall x_1, x_2 \in D_f, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$， 所以 ∀x1,x2∈Df,f(x1)=f(x2)⇒x1=x2 $\forall x_1, x_2 \in D_f, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$， 所以存在反函数 f−1(y),y∈Rf $f^{-1}(y), y \in R_f$。
∀y1,y2∈Df−1=Rf, $\forall y_1, y_2 \in D_{f^{-1}} = R_f,$ 设 x1=f−1(y1), $x_1 = f^{-1} (y_1) ,$ x2=f−1(y2), $x_2 = f^{-1} (y_2),$ 则 y1=y2⇒x1=x2, $y_1 = y_2 \Rightarrow x_1 = x_2,$ 否则
(1) x1<x2⇒y1=f(x1)<f(x2)=y2, $x_1 < x_2 \Rightarrow y_1 = f(x_1) < f(x_2) = y_2,$
(2) x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2 $x_1 > x_2 \Rightarrow y_1 = f(x_1) > f(x_2) = y_2$，
因此 f−1(y) $f^{-1}(y)$ 也是严格单调增加（减少）的。

反函数连续性定理

设函数 y=f(x) $y = f(x)$ 在闭区间 [a,b] $[a, b]$ 上连续且严格单调增加， f(a)=α,f(b)=β, $f(a) = \alpha, f(b) = \beta,$ 则它的反函数 x=f−1(y) $x = f^{-1} (y)$ 在 [α,β] $[\alpha, \beta]$ 上连续且严格单调增加。

证明：

1. 首先证明 Rf=f[a,b]=[α,β] $R_f = f[a, b] = [\alpha, \beta]$：
   1.1 由于 f(x) $f(x)$ 严格单调增加， 因此 Rf⊆[f(a),f(b)]=[α,β] $R_f \subseteq [f(a), f(b)] = [\alpha, \beta]$。
   1.2 显然 α,β∈f([a,b]) $\alpha, \beta \in f([a, b])$。 ∀γ∈(α,β), $\forall \gamma \in (\alpha, \beta),$ 令 S={x|x∈[a,b],f(x)<γ}, $S = \{ x | x \in [a, b], f(x) < \gamma \},$ 则 集合 S $S$ 非空有上界， 由确界存在定理， S$S$ 必有上确界， 记 x0=supS, $x_0 = \operatorname {sup} S,$ 则 x0∈[a,b] $x_0 \in[a, b]$。 由于 f(x) $f(x)$ 连续， 因此 ∃a1,b1∈(α,β),f(a1)<γ,f(b1)>γ $\exists a_1, b_1 \in (\alpha, \beta), f(a_1) < \gamma, f(b_1) > \gamma$， 又 f(x) $f(x)$ 严格单调增加， 因此 a1<b1,∀x∈[a,a1],f(x)<γ,∀x∈[b1,b],f(x)>γ, $a_1 < b_1, \forall x \in [a, a_1], f(x) < \gamma, \forall x \in [b_1, b], f(x) > \gamma,$ 所以 x0∈[a1,b1]⊆(a,b) $x_0 \in [a_1, b_1] \subseteq (a, b)$。
   (1) 若 f(x0)<γ, $f(x_0) < \gamma,$ 则由 f(x) $f(x)$ 连续得 ∃x′∈[a,b],x′>x0,f(x′)<γ $\exists x' \in [a, b], x' > x_0, f(x') < \gamma$， 因此 x′∈S⇒x′≤x0, $x' \in S \Rightarrow x' \le x_0,$ 矛盾；
   (2) 若 f(x0)>γ, $f(x_0) > \gamma,$ 则 由 f(x) $f(x)$ 连续得 ∃x′∈[a,b],x′<x0,f(x′)>γ， $\exists x' \in [a, b], x' < x_0, f(x') > \gamma，$ 因此 ∀x′′∈[x′,x0],f(x′′)>γ $\forall x'' \in [x', x_0], f(x'') > \gamma$, 与 x0 $x_0$ 是 S $S$ 的上确界矛盾。
   由 (1), (2) 得， f(x0)=γ$f(x_0) = \gamma$。所以， [α,β]⊆Rf $[\alpha, \beta] \subseteq R_f$。
   因此， Rf=f[a,b]=[α,β] $R_f = f[a, b] = [\alpha, \beta]$。
2. 根据反函数存在定理， 必存在 f $f$ 的反函数 x=f−1(y):[α,β]→[a,b],$x = f^{-1} (y): [\alpha, \beta] \rightarrow [a, b],$ 且 f−1(y) $f^{-1} (y)$ 也是严格单调增加函数。
   2.1 ∀y0∈(α,β), $\forall y_0 \in (\alpha, \beta),$ 令 x0=f−1(y0), $x_0 = f^{-1} (y_0),$ 则 f(x0)=y0∈(α,β)⇒x0∈(a,b)， $f(x_0) = y_0 \in (\alpha, \beta) \Rightarrow x_0 \in (a, b)，$
   ∀ε>0,ε≤min(x0−a,b−x0), $\forall \varepsilon > 0, \varepsilon \le \operatorname {min} (x_0 - a, b - x_0),$ 令 y1=f(x0−ε),y2=f(x0+ε), $y_1 = f (x_0 - \varepsilon), y_2 = f (x_0 + \varepsilon),$ 则 y1<y0<y2, $y_1 < y_0 < y_2,$ 令 δ=min(y0−y1,y2−y0) $\delta = \operatorname {min} (y_0 - y_1, y_2 - y_0)$ 则
   ∀y∈O(y0,δ)⊆(f−y%� k�:��]�l� k�:���A absolute; top: -2.237em; left: 0.536em;">2),x0−ε=f−1(y1)<f−1(y)<f−1(y2)=x0+ε $\forall y \in O(y_0, \delta) \subseteq (y_1, y_2), x_0 - \varepsilon = f^{-1} (y_1) < f^{-1} (y) < f^{-1} (y_2) = x_0 + \varepsilon$
   ⇒|f−1(y)−f−1(y0)|=|f−1(y)−x0|<ε, $\Rightarrow | f^{-1} (y) - f^{-1} (y_0) | = | f^{-1} (y) - x_0 | < \varepsilon,$ 因此 f−1(y) $f^{-1} (y)$ 在点 y0 $y_0$ 上连续。
   2.2 同样可得 f−1(y) $f^{-1} (y)$ 在点 α $\alpha$ 上左连续， 在点 β $\beta$ 上右连续。

综上， f−1(y) $f^{-1} (y)$ 在闭区间 [α,β] $[\alpha, \beta]$ 上连续。

反函数求导定理

若函数 y=f(x) $y = f(x)$ 在 (a,b) $(a, b)$ 上连续，严格单调，可导并且 f′(x)≠0, $f'(x) \neq 0,$ 记 α=min(f(a+),f(b−)),β=max(f(a+),f(b−)) $\alpha = \operatorname {min} (f (a +), f (b - )), \beta = \operatorname {max} (f (a +), f (b - ))$， 则它的反函数 x=f−1(y) $x = f ^{-1} (y)$ 在 (α,β) $(\alpha, \beta)$ 上可导，且有

证明

因为函数 y=f(x) $y = f(x)$ 在 (a,b) $(a, b)$ 上连续，严格单调， 由反函数存在性定理， 它的反函数 x=f−1(y):(α,β)→(a,b) $x = f ^{-1} (y): (\alpha, \beta) \rightarrow (a, b)$ 存在，连续且严格单调。
因此， ∀y0∈(α,β), $\forall y_0 \in (\alpha, \beta),$ 令 x0=f−1(y0), $x_0 = f ^{-1} (y_0) ,$ 则 limy→y0f−1(y)=f−1(y0)=x0, $\lim \limits_{y \to y_0 } f ^{-1} (y) = f ^{-1} (y_0) = x_0,$ 且 ∀y∈(α,β),y≠y0⇒f−1(y)≠f−1(y0), $\forall y \in (\alpha, \beta), y \neq y_0 \Rightarrow f ^{-1} (y) \neq f ^{-1} (y_0),$
由于 f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0, $f'(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0 } \frac { f(x) - f (x_0) } { x - x_0 },$
由复合函数的极限的性质可得 limy→y0f(f−1(y))−f(f−1(y0))f−1(y)−f−1(y0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0) $\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f(f ^{-1} (y)) - f (f ^{-1} (y_0)) } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = \lim \limits_{x \to x_0 } \frac { f(x) - f (x_0) } { x - x_0 } = f'(x_0)$
因此 limy→y0y−y0f−1(y)−f−1(y0)=limy→y0f(f−1(y))−f(f−1(y0))f−1(y)−f−1(y0)=f′(x0)≠0, $\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { y - y_0 } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = \lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f(f ^{-1} (y)) - f (f ^{-1} (y_0)) } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = f'(x_0) \neq 0,$
因此 [f−1(y)]′=limy→y0f−1(y)−f−1(y0)y−y0=1limy→y0y−y0f−1(y)−f−1(y0)=1f′(x0) $[f ^{-1} (y)]' = \lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } { y - y_0 } = \frac{1} {\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { y - y_0 } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) }}= \frac {1}{f' (x_0)}$