在 Haskell 中实现记忆功能

我对 Haskell 相当陌生，我正在尝试实现一个基本的记忆功能，它使用Data.Map存储计算值。我的示例是欧拉项目问题 15，其中涉及计算 20x20 网格中从一个角到另一个角的可能路径数。

这是我到目前为止所拥有的。我还没有尝试编译，因为我知道它不会编译。下面我会解释一下。

import qualified Data.Map as Map

main = print getProblem15Value

getProblem15Value :: Integer
getProblem15Value = getNumberOfPaths 20 20

getNumberOfPaths :: Integer -> Integer -> Integer
getNumberOfPaths x y = memoize getNumberOfPaths' (x,y)
where getNumberOfPaths' mem (0,_) = 1
      getNumberOfPaths' mem (_,0) = 1
      getNumberOfPaths' mem (x,y) = (mem (x-1,y)) + (mem (x,y-1))

memoize :: ((a -> b) -> a -> b) -> a -> b
memoize func x = fst $ memoize' Map.Empty func x
    where memoize' map func' x' = case (Map.lookup x' map) of (Just y) -> (y, map)
                                                              Nothing -> (y', map'')
           where y' = func' mem x'
                 mem x'' = y''
                 (y'', map') = memoize' map func' x''
                 map'' = Map.insert x' y' map'

基本上，我的结构方式是memoize是一个组合器（根据我的理解）。记忆之所以有效，是因为memoize提供一个函数（在本例中getNumberOfPaths') 并带有一个函数来调用 (mem）用于递归，而不是getNumberOfPaths'调用自身，这将在第一次迭代后删除记忆。

我的实施memoize接受一个函数（在本例中getNumberOfPaths'）和一个初始值（在本例中是一个元组(x,y)表示距网格另一个角的网格单元距离的数量）。它调用memoize'它具有相同的结构，但包含一个空的Map保存值，并返回一个包含返回值和新计算值的元组Map. memoize'进行映射查找并返回该值和原始映射（如果存在值）。如果不存在值，则返回计算值和新映射。

这就是我的算法崩溃的地方。为了计算新值，我调用func' (getNumberOfPaths') with mem and x'. mem只是返回y'', where y''包含在调用结果中memoize' again. memoize'还返回一个新的映射，然后我们向其中添加新值并用作memoize'.

这里的问题是该行(y'', map') = memoize' map func' x''应该在mem因为它依赖于x''，这是一个参数mem。我当然可以做到，但那样我就会失去map'value，我需要它，因为它包含来自中间计算的记忆值。不过我不想介绍Map返回值mem因为然后函数传递给memoize将不得不处理Map.

抱歉，如果这听起来令人困惑。很多超高阶函数的东西让我感到困惑。

我确信有办法做到这一点。我想要的是一个通用的memoize允许递归调用的函数与定义中完全相同getNumberOfPaths，其中计算逻辑不必确切关心记忆是如何完成的。

如果您的输入足够小，您可以做的一件事是将备忘录表分配为Array代替Map，包含提前的所有结果，但计算延迟：

import Data.Array ((!), array)

numPaths :: Integer -> Integer -> Integer
numPaths w h = get (w - 1) (h - 1)
  where

    table = array (0, w * h)
      [ (y * w + x, go x y)
      | y <- [0 .. h - 1]
      , x <- [0 .. w - 1]
      ]

    get x y = table ! fromInteger (y * w + x)

    go 0 _ = 1
    go _ 0 = 1
    go x y = get (x - 1) y + get x (y - 1)

如果您愿意，您还可以将其拆分为单独的函数：

numPaths w h = withTable w h go (w - 1) (h - 1)
  where
    go mem 0 _ = 1
    go mem _ 0 = 1
    go mem x y = mem (x - 1) y + mem x (y - 1)

withTable w h f = f'
  where
    f' = f get
    get x y = table ! fromInteger (y * w + x)
    table = makeTable w h f'

makeTable w h f = array (0, w * h)
  [ (y * w + x, f x y)
  | y <- [0 .. w - 1]
  , x <- [0 .. h - 1]
  ]

我不会剧透，但答案还有一个非递归公式。