本篇博客出于学习交流目的，主要是用来记录自己学习多目标优化中遇到的问题和心路历程，方便之后回顾。过程中可能引用其他大牛的博客，文末会给出相应链接，侵删！
REMARK：本人纯小白一枚，0基础，如有理解错误还望大家能够指出，相互交流。也是第一次以博客的形式记录，文笔烂到自己都看不下去，哈哈哈
在本篇正文中主要推荐个人觉得有帮助的文章以及分析自己对Pareto的相关定义的理解，笔者在刚开始时候毫无头绪，希望下面的一些基础能对不幸看到这篇博客的你有一点点小帮助。
在多目标优化问题中，有许多预备知识需要具备，许多繁琐的基础概念我就不赘述了（摊手）。可以参考多目标优化这篇文章，作者给出了比较综合的叙述。如果有需要了解粒子群算法，遗传算法，蚁群算法可以参考以下链接：
粒子群算法系列文章 作者比较系统的讲解了粒子群算法，包括其主要变种方向。
蚁群算法 作者给出了一个在线网页模型，有助于理解。
在多目标优化问题中有许多算法都是基于Pareto支配关系的，知乎上如何通俗的理解Pareto的生动例子有助于我等小白理解其现实意义。下面给出Pareto的数学形式和定义。
Definition 1: 多目标优化问题(multi-objective optimization problem(MOP))
F
(
x
)
=
(
f
1
(
x
)
,
⋯
,
f
m
(
x
)
)
s
.
t
.
x
∈
Ω
F(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))\\ s.t. \; x\in \Omega
F(x)=(f1(x),⋯,fm(x))s.t.x∈Ω
F
(
x
)
F(x)
F(x)为多目标优化结果，
f
1
(
x
)
,
⋯
,
f
m
(
x
)
f_1(x),\cdots,f_m(x)
f1(x),⋯,fm(x)为目标分量，m为目标数。
Definition 2: Pareto支配(Pareto Dominance)
在最小化优化问题中，当且仅当 ∀ i ∈ { 1 , 2 , . . . , m } \forall{i}\in\{1,2,...,m\} ∀i∈{1,2,...,m}, f i ( x ) ≤ f i ( y ) f_i(x) \leq f_i(y) fi(x)≤fi(y), 且 $\exists {j} \in {1,2,…,m} $ s.t. f j ( x ) < f j ( y ) \; f_j(x)<f_j(y) fj(x)<fj(y)，我们称 x x x支配 y y y (有些场合也称为 x x x占优于 y y y ),记作 x ≺ y x \prec y x≺y 。
换句话说，在最小化优化问题中， x x x至少存在一个目标分量中小于 y y y，并且其他目标分量也不会比 y y y大，我们希望得到尽量小的解，那么越小就越优，开始的时候我纠结过为什么用 ‘ ≺ \prec ≺ ’符号， x x x 更优秀不是应该用‘ ≻ \succ ≻’符号？ 在阅读NSGA-II算法后，我理解的是，越优的解所处的前沿面序号越小，所以使用‘ x ≺ y x\prec y x≺y ’表示 x x x支配 y y y。
Definition 3: Pareto最优解(Pareto Optimal Solution)
如果一个解 x ∗ x^* x∗被称之为Pareto optimal solution， 当且仅当 x ∗ x^* x∗不被其他的解支配。
Definition 4: Pareto 集(Pareto Set)
一个多目标优化问题（MOP），对于一组给定的最优解集，如果这个集合中的解是相互非支配的，也即两两不是支配关系，那么则称这个解集为Pareto Set 。
如上图所示，每个黑点都表示为Pareto optimal solution，而每个红点至少被一个黑点支配，黑色点组成的集合即为
f
1
,
f
2
f_1,f_2
f1,f2 2目标优化中的Pareto Set。
Definition 5: Pareto 前沿(Pareto Front)
Pareto Set 中每个解对应的目标值向量组成的集合称之为Pareto Front, 简称为PF。
本篇博客对刚涉足多目标优化的人可能会有所帮助。
参考链接：
多目标优化
粒子群算法系列文章
蚁群算法
如何通俗的理解Pareto
多目标进化算法(MOEA)概述
多目标优化系列（一）NSGA-Ⅱ
